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2021届高考物理二轮复习 小题提升精练7 万有引力与航天

2021届高考物理二轮复习 小题提升精练7 万有引力与航天

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万有引力与航天
(1) 以万有引力定律为基础的行星、卫星匀速圆周运动模型及其应用；(2)双星模型、估算天体的质量和密度等；(3)以开普勒三定律为基础的椭圆运行轨道及卫星的发射与变轨、能量等相关内容；(4)万有引力定律与地理、数学、航天等知识的综合应用。

例1．(2020∙全国I卷∙15)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A. 0.2 B. 0.4 C. 2.0 D. 2.5
【答案】B
【解析】根据F=G得，故选B。
【点睛】本题考查万有引力公式的应用，比较简单。
例2．(2020∙全国II卷∙15)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】卫星在星体表面附近绕其做圆周运动，则G＝m2r，M＝ρ·πr3，知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期。
【点睛】本题考查卫星运行周期问题，知道万有引力提供其圆周运动的向心力，同时注意密度公式的应用。

1．2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星(　　)
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
【答案】D
【解析】同步卫星只能位于赤道正上方，A项错误；由＝知，卫星的轨道半径越大，卫星做匀速圆周运动的线速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B项错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C项错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较小，D项正确。
2．如图所示，设行星绕太阳的运动是匀速圆周运动，金星自身的半径是火星的n倍，质量为火星的k倍。不考虑行星自转的影响，则(　　)
A．金星表面的重力加速度是火星的倍
B．金星的“第一宇宙速度”是火星的倍
C．金星绕太阳运动的加速度比火星小
D．金星绕太阳运动的周期比火星大
【答案】B
【解析】由G＝mg得g＝，可知＝，选项A错；由G＝m得v＝，可知＝，选项B对；由G＝ma得a＝，可知距离越远，加速度越小，而＝c，可知越远周期越大，所以选项C、D均错。
3．我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，由此可知(　　)
A．同步卫星与量子卫星的运行周期之比为
B．同步卫星与P点的速度之比为
C．量子卫星与同步卫星的速度之比为
D．量子卫星与P点的速度之比为
【答案】D
【解析】由开普勒第三定律得＝，又由题意知r量＝mR，r同＝nR，所以＝＝＝，故A错误；P为地球赤道上一点，P点角速度等于同步卫星的角速度，根据v＝ωr，所以有＝＝＝，故B错误；根据G＝m，得v＝，所以＝＝＝，故C错误；综合B、C，有v同＝nvP，＝，得＝，故D正确。
4．假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，半径分别为RA和RB。这两颗行星周围卫星的轨道半径的三次方(r3)与运行周期的平方(T2)的关系如图所示，T0为卫星环绕行星表面运行的周期。则(　　)
A．行星A的质量大于行星B的质量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度小于行星B的第一宇宙速度
D．当两行星的卫星轨道半径相同时，行星A的卫星向心加速度小于行星B的卫星向心加速度
【答案】A
【解析】根据＝m，可得M＝，r3＝T2，由图象可知，A的斜率大，所以A的质量大，A项正确；由图象可知当卫星在两行星表面运行时，周期相同，将M＝ρV＝ρ·πR3代入上式可知两行星密度相同，B项错误；根据万有引力提供向心力， 则＝，所以v＝＝，行星A的半径大，所以行星A的第一宇宙速度也大，C项错误；两卫星的轨道半径相同时，它们的向心加速度a＝，由于A的质量大于B的质量，所以行星A的卫星向心加速度大，D项错误。

5．引力波的发现证实了爱因斯坦100年前所做的预测。1974年发现了脉冲双星间的距离在减小就已间接地证明了引力波的存在。如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在相互的万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动。由于双星间的距离减小，则(　　)
A．两星的运动周期均逐渐减小
B．两星的运动角速度均逐渐减小
C．两星的向心加速度均逐渐减小
D．两星的运动线速度均逐渐减小
【答案】A
【解析】双星做匀速圆周运动具有相同的角速度，靠相互间的万有引力提供向心力。根据G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，知m1r1＝m2r2，知轨道半径比等于质量之反比，双星间的距离减小，则双星的轨道半径都变小，根据万有引力提供向心力，知角速度变大，周期变小，故A正确，B错误；根据G＝m1a1＝m2a2知，L变小，则两星的向心加速度均增大，故C错误；根据G＝m1，解得v1＝，由于L平方的减小比r1的减小量大，则线速度增大，故D错误。
6．(多选)如图所示，有甲、乙两颗卫星分别在不同的轨道围绕一个半径为R、表面重力加速度为g的行星运动，卫星甲、卫星乙各自所在的轨道平面相互垂直，卫星甲的轨道为圆，距离行星表面的高度为R，卫星乙的轨道为椭圆，M、N两点的连线为其椭圆轨道的长轴且M、N两点间的距离为4R。则以下说法正确的是(　　)
A．卫星甲的线速度大小为
B．卫星乙运行的周期为4π
C．卫星乙沿椭圆轨道运行经过M点时的速度大于卫星甲沿圆轨道运行的速度
D．卫星乙沿椭圆轨道运行经过N点时的加速度小于卫星甲沿圆轨道运行的加速度
【答案】BCD
【解析】卫星甲绕中心天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，可计算出卫星甲环绕中心天体运动的线速度大小为v＝，A错误；同理可计算出卫星甲环绕的周期为T甲＝4π，由卫星乙椭圆轨道的半长轴等于卫星甲圆轨道的半径，根据开普勒第三定律可知，卫星乙运行的周期和卫星甲运行的周期相等，则T乙＝T甲＝4π，B正确；卫星乙沿椭圆轨道经过M点时的速度大于沿轨道半径为M至行星中心距离的圆轨道的卫星的线速度，而轨道半径为M至行星中心距离的圆轨道的卫星的线速度大于卫星甲在圆轨道上的线速度，C正确；卫星运行时只受万有引力，向心加速度a＝，r越大，a越小，D正确。
7．(多选)宇航员在某星球表面以初速度2.0 m/s水平抛出一物体，并记录下物体的运动轨迹，如图所示，O为抛出点，若该星球半径为4000 km，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2·kg－2，则下列说法正确的是(　　)
A．该星球表面的重力加速度为4.0 m/s2
B．该星球的质量为2.4×1023 kg
C．该星球的第一宇宙速度为4.0 km/s
D．若发射一颗该星球的同步卫星，则同步卫星的绕行速度一定大于4.0 km/s
【答案】AC
【解析】根据平抛运动的规律：h＝gt2，x＝v0t，解得g＝4.0 m/s2，A正确；在星球表面，重力近似等于万有引力，得M＝≈9.6×1023 kg，B错误；由＝mg得第一宇宙速度为v＝＝4.0 km/s，C正确；第一宇宙速度为最大的环绕速度，D错误。
8．2016年10月17日发射的“神舟十一号”飞船于10月19日与“天宫二号”顺利实现了对接。在对接过程中，“神舟十一号”与“天宫二号”的相对速度非常小，可以认为具有相同速率。它们的运动可以看作是绕地球的匀速圆周运动，设“神舟十一号”的质量为m，对接处距离地球表面高度为h，地球的半径为r，地球表面处的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响，“神舟十一号”在对接时，下列结果正确的是(　　)
A．对地球的引力大小为mg
B．向心加速度为g
C．周期为
D．动能为
【答案】C
【解析】“神舟十一号”在对接处的重力加速度小于地球表面的重力加速度，对地球的引力小于mg，故A错误；在地球表面重力等于万有引力，有G＝mg，解得：GM＝gr2，对接时，万有引力提供向心力，有G＝ma，联立得a＝g，故B错误；根据万有引力提供向心力，有G＝m(r＋h)，联立得T＝，故C正确；根据万有引力提供向心力，G＝m，动能Ek＝mv2＝＝，故D错误。
9．如图所示，A是地球的同步卫星。另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地心。
(1)求卫星B的运行周期。
(2)如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
【解析】(1)由万有引力定律和向心力公式得
卫星B：G＝m(R＋h)
地球表面上：G＝mg
联立解得TB＝2π 。
(2)由题意得(ωB－ω0)t＝2π
由ωB＝，解得t＝。
10．开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立。如图，嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，周期为T。月球的半径为R，引力常量为G。某时刻嫦娥三号卫星在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在月球表面的B点着陆。A、O、B三点在一条直线上。求：
(1)月球的密度；
(2)在轨道Ⅱ上运行的时间。
【解析】(1)由万有引力充当向心力：＝m2r
月球的密度：ρ＝
联立解得：ρ＝。
(2)椭圆轨道的半长轴：a＝

设椭圆轨道上运行周期为T1，由开普勒第三定律有：＝
在轨道Ⅱ上运行的时间为t＝，解得：t＝。
11．由于地球的自转，物体在地球上不同纬度处随地球自转所需向心力的大小不同，因此同一个物体在地球上不同纬度处重力大小也不同，在地球赤道上的物体受到的重力与其在地球两极点受到的重力大小之比约为299∶300，因此我们通常忽略两者的差异，可认为两者相等．而有些星球，却不能忽略。假如某星球因为自转的原因，一物体在该星球赤道上的重力与其在两极点受到的重力大小之比为7∶8，已知该星球的半径为R。(引力常量为G)
(1)求绕该星球运动的同步卫星的轨道半径r；
(2)若已知该星球赤道上的重力加速度大小为g，求该星球的密度ρ。
【解析】(1)设物体质量为m，星球质量为M，星球的自转周期为T，物体在星球两极时，万有引力等于重力，即F万＝G＝G极
物体在星球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力G赤，有
F万＝G赤＋Fn
因为G赤＝G极，所以Fn＝·G＝m2R
该星球的同步卫星的周期等于星球的自转周期T，则有G＝m′r
联立解得r＝2R。
(2)在星球赤道上，有·G＝mg
解得M＝
又因星球的体积V＝πR3
所以该星球的密度ρ＝＝。