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2022版高考数学一轮复习 第6章 平面向量、复数 第1节 平面向量的概念与线性运算学案新人教B版

2022版高考数学一轮复习 第6章 平面向量、复数 第1节 平面向量的概念与线性运算学案新人教B版

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第6章 平面向量、复数

课程标准
命题解读
1．理解平面向量的意义和两个向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素．
2．掌握平面向量加、减、数乘运算及运算规则，理解其几何意义．
3．理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．
4．理解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
5．能用坐标表示平面向量的数量积及共线、垂直的条件，会求两个平面向量的夹角．
6．会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题．
7．了解数系的扩充，理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
8．掌握复数的表示、运算及其几何意义，掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
考查形式：一般两个选择题或一个选择题、一个填空题．
考查内容：向量的线性运算及其几何意义；向量加、减、数乘及向量共线的坐标表示；两个向量的数量积的运算、夹角公式、垂直问题．复数的定义、几何意义、共轭复数、复数的模、复数相等及复数的四则运算．
备考策略：1)熟练应用三角形、平行四边形法则，进行向量的线性运算，熟练掌握向量的数量积运算，能解决向量的模、夹角、垂直问题．
(2)熟练掌握复数的四则运算、复数的模及其几何意义．
核心素养：数学抽象、数学运算.
第1节　平面向量的概念与线性运算

一、教材概念·结论·性质重现
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小称为向量的模(或长度)
向量由方向和长度确定，不受位置影响
零
向量
始点和终点相同的向量
其方向是任意的，记作0
单位
向量
模等于1的向量
非零向量a的单位向量为±
平行
向量
方向相同或相反的两个非零向量
0与任一向量平行(或共线)
相等
向量
大小相等、方向相同的向量
两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反
向量
方向相反、大小相等的向量
0的相反向量为0

(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们的大小相等，但方向不一定相同．
(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
(4)与非零向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.
2．平面向量的线性运算
向量
运算
定义
法则
(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

平行四边形法则
减法
向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法

三角形法则

数乘
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb

(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
(3)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点．
3．共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.

(1)在向量共线的充要条件中易忽视“a≠0”．若忽视“a≠0”，则λ可能不存在，也可能有无数个．
(2)三点共线的等价关系：
A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　√　)
(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　√　)
(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　×　)
(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　)
(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　√　)
(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　×　)
2．如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是(　　)

A.＝ B.＝
C.＝－ D.＝
D　解析：由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误．
3．(2021·山东省师大附中模拟)设a，b是非零向量，则“a＝2b”是“＝”成立的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
B　解析：由a＝2b可知，a，b方向相同，则和分别表示a，b方向上的单位向量，所以＝成立；反之不成立．故选B.
4．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
　解析：因为向量a，b不平行，所以a＋2b≠0.又向量λa＋b与a＋2b平行则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝.
5．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
－a＋b　解析：由＝3，得＝＝(a＋b)．
又＝a＋b，
所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b.

考点1　向量的相关概念——基础性

1．下面说法正确的是(　　)
A．平面内的单位向量是唯一的
B．所有单位向量的终点的集合为一个单位圆
C．所有的单位向量都是共线的
D．所有单位向量的模相等
D　解析：因为平面内的单位向量有无数个，所以选项A错误；当单位向量的起点不同时，其终点就不一定在同一个圆上，所以选项B错误；当两个单位向量的方向既不相同也不相反时，这两个向量就不共线，所以选项C错误；因为单位向量的模都等于1，所以选项D正确．
2．下列说法正确的是(　　)
A．若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量
C．长度相等的向量叫做相等向量
D．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
D　解析：若向量与向量是共线向量，则AB∥CD或点A，B，C，D在同一条直线上，故A错误；共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同也不相反，故B错误；长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故C错误；相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确．
3．判断下列四个命题：
①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
A　解析：只有④正确．
4．给出下列命题：
①零向量是唯一没有方向的向量；
②零向量的长度等于0；
③若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线．
其中错误的命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
B　解析：①错误，零向量是有方向的，其方向是任意的；②正确，由零向量的定义可知，零向量的长度为0；③正确，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b反向共线时等式才成立．

向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度为0，规定零向量与任何向量共线．
考点2　平面向量的线性运算——应用性

在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
B　解析：因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋.

1．本例条件不变，用，表示.
解：＝＋＝(＋)
＝(＋－)
＝－
＝－(＋)
＝－
＝－.
2．本例中，若＝2，其他条件不变，用，表示.
解：＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋.

1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．三种运算法则的关注点
(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，平行四边形法则要求“起点相同”．
(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向被减向量．
(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．

如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，用，表示.

解：根据题意得，＝＋.
又＝＝，＝，
所以＝＋＝＋.
考点3　平面向量线性运算的综合应用——综合性

考向1　根据平面向量的线性运算求参数的值或范围
(1)(2020·朔州模拟)在△ABC中，＋＝2，＋＝0.若＝x＋y，
则(　　)
A．y＝3x B．x＝3y
C．y＝－3x D．x＝－3y
D　解析：因为＋＝2，所以点D是BC的中点．又因为＋＝0，所以点E是AD的中点，所以＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－＋，因此x＝－，y＝，所以x＝－3y.
(2)(2020·怀化模拟)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是
(　　)
A. B.
C. D.
D　解析：设＝y，因为＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y∈，所以＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).
因为＝x＋(1－x)，
所以x＝－y，所以x∈.

根据平面向量的线性运算求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值或范围．
考向2　共线向量定理
2020·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2.若A，B，D三点共线，则k的值为________．
－　解析：因为A，B，D三点共线，所以必存在一个实数λ，使得＝λ.又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2.又e1与e2不共线，所以解得k＝－.

1．证明向量共线的方法
应用向量共线定理．对于向量a，b(b≠0)，若存在实数λ，使得a＝λb，则a与b共线．
2．证明A，B，C三点共线的方法
若存在实数λ，使得＝λ，则A，B，C三点共线．
3．解决含参数的共线问题的方法
经常用到平面几何的性质，构造含有参数的方程或方程组，解方程或方程组得到参数值．

1．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是(　　)
A．A，B，C B．A，B，D
C．B，C，D D．A，C，D
B　解析：因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，且，有公共点A，所以A，B，D三点共线．
2．(2020·无锡模拟)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上．若＝＋μ，则μ的取值范围是________．
　解析：由已知可得AD＝1，CD＝，所以＝2.
因为点E在线段CD上，
所以，设＝λ(0≤λ≤1)．
因为＝＋，
又＝＋μ＝＋2μ＝＋，
所以＝1，即μ＝.
因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.
3．如图，在△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD, E为线段AD的中点．若＝m＋n，则m＝________，n＝________.

　－　解析：＝(＋)＝＝－＝(－)－＝＋.又＝m＋n，所以m＝，n＝－.

在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝(　　)

Aa＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
[四字程序]
读
想
算
思
用基底表示
1.三角形法则，平行四边形法则；
2．以谁为基底？
选择不同的三角形，利用三角形法则
转化与化归
O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，E是OD的中点，AE的延长线与CD交于F
1.＝＋，如何表示？
2.＝＋，如何表示？
3.＝＋，如何表示？
4．利用方程组思想与向量相等解决
1.在△AGF中表示；
2．在△ACF中表示；
3．在△ADF中表示；
4．直接设＝x＋y，利用向量相等求系数
1.向量的线性运算法则；
2．向量相等的条件；
3．平行线的性质

思路参考：利用，表示.
B　解析：因为由题意可知△DEF∽△BEA，
所以＝＝.再由AB＝CD可得＝，
所以＝.
作FG平行BD交AC于点G，

所以＝＝，
所以＝＝＝b.
因为＝＋＝＋＝
＋＝＝a，
所以＝＋＝a＋b.

思路参考：利用，表示.
B　解析：如图，作OG∥FE交DC于点G.

由DE＝EO，得DF＝FG.
又由AO＝OC，得FG＝GC，
于是＝＝×(b－a)＝b－a.
所以＝＋＝a＋b.

思路参考：利用，表示.
B　解析：如图，作OG∥FE交DC于点G.

由DE＝EO，得DF＝FG.
又由AO＝OC，得FG＝GC，

于是＝＝，
那么＝＋＝＋＝a＋b.

思路参考：利用，表示.
B　解析：如图，作OG∥FE交DC于点G.

由DE＝EO，得DF＝FG.
又由AO＝OC，得FG＝GC，
故＝＋＝＋＝＋.
设＝x＋y.
因为＝＋，＝－，
所以＝(x＋y)＋(x－y)，
于是解得
所以＝＋＝a＋b.

1．本题考查利用已知向量作基底表示向量问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助于三角形法则，逐步对向量进行变形，直至用所给基底表达出来；或选用不同基底分别表示，再利用向量相等解决．
2．基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握读图识图能力、运算求解能力、推理能力，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．本题考查向量的线性运算问题，体现了基础性．同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．

如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别与AB，AC所在直线交于不同的两点M，N.若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
B　解析：(方法一)连接AO，如图．

因为O为BC的中点，所以＝(＋)＝＋.
因为M，O，N三点共线，
所以＋＝1，所以m＋n＝2.
(方法二)连接AO(图略)．
由于O为BC的中点，故＝(＋)，
＝－＝(＋)－
＝＋，
同理，＝＋.
由于向量，共线，故存在实数λ使得＝λ，即＋＝λ.
由于，不共线，故得－＝λ，且＝λ，
消掉λ，得(m－2)(n－2)＝mn，
化简即得m＋n＝2.