2018年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何.doc

《2018年高考文科数学分类汇编》
第九篇：解析几何
一、 选择题
1.【2018全国一卷4】已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为
A． B． C． D．
2.【2018全国二卷6】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
3.【2018全国二11】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A． B． C． D．
4.【2018全国三卷8】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
5.【2018全国三卷10】已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为
A． B． C． D．
6.【2018天津卷7】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A B
C D
7.【2018浙江卷2】双曲线的焦点坐标是
A．(−，0)，(，0) B．(−2，0)，(2，0)
C．(0，−)，(0，) D．(0，−2)，(0，2)
8.【2018上海卷13】设P是椭圆+=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A.22 B.23 C.25 D.42

二、 填空题
1.【2018全国一卷15】直线与圆交于两点，则________．
2.【2018北京卷10】已知直线l过点（1,0）且垂直于𝑥轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.
3.【2018北京卷12】若双曲线的离心率为，则a=_________.
4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．
5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ．
62018江苏卷12】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为 ．
7.【2018浙江卷17】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
8.【2018上海卷2】2.双曲线的渐近线方程为 .
9.【2018上海卷12】已知实数x₁、x₂、y₁、y₂满足：，，，则+的最大值为__________

三、解答题
1.【2018全国一卷20】设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程
（2）证明：．

2.【2018全国二卷20】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．

3.【2018全国三卷20】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．

4.【2018北京卷20】已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若，求的最大值；
（Ⅲ）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点共线，求k.

52018天津卷19】设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求k的值．

6.【2018江苏卷18】如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．

7.【2018浙江卷21】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

8.【2018上海卷20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线：，l与x轴交于点A，与交于点B，P、Q分别是曲线与线段AB上的动点.
（1）用t为表示点B到点F的距离；
（2）设t=3，，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FPFQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.

参考答案
一、 选择题
1.C 2.A 3.D 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C
二、 填空题
1. 2. 3.4 4. 5.2 6.3 7.5
8. 9.
三、 解答题
1.解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．
所以直线BM的方程为y=或．
（2）当l与x轴垂直时AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．
当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．
由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．
直线BM，BN的斜率之和为
．①
将，及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
．
所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM+∠ABN．
综上，∠ABM=∠ABN．

2.解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由得．
，故．
所以．
由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．
因此l的方程为y=x–1．
（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为
，即．
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
解得或
因此所求圆的方程为
或．

3.解：（1）设，，则，．
两式相减，并由得．
由题设知，，于是．
由题设得，故．
（2）由题意得F（1，0）．设，则
．
由（1）及题设得，．
又点P在C上，所以，从而，．
于是．
同理．
所以．
故．

4.解：（Ⅰ）由题意得，所以，
又，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
设，，则
则，
易得当时，，故的最大值为．
（Ⅲ）设，，，，
则 ①， ②，
又，所以可设，直线的方程为，
由消去可得，
则，即，学科*网
又，代入①式可得，所以，
所以，同理可得．
故，，
因为三点共线，所以，
将点的坐标代入化简可得，即．

5. 解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．
由,从而．
所以，椭圆的方程为．
（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，
点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，
从而，即．
易知直线的方程为，
由方程组消去y，可得．
由方程组消去，可得．
由，可得，两边平方，整理得，解得，或．
当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．
所以，的值为．

6.解：（1）因为椭圆C的焦点为，
可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，
所以，解得
因此，椭圆C的方程为．
因为圆O的直径为，所以其方程为．
（2）①设直线l与圆O相切于，则，
所以直线l的方程为，即．
由消去y，得．（*）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以．
因为，所以．
因此，点P的坐标为．
②因为三角形OAB的面积为，
所以，从而．
设，
由（*）得，
所以．
因为，
所以，即，
解得舍去），则，因此P的坐标为．
综上，直线l的方程为．
7.解：（Ⅰ）设．
因为，的中点在抛物线上，
所以，为方程即的两个不同的实数根． 所以．
因此，垂直于轴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
所以，．
因此，的面积．
因为，所以．
因此，面积的取值范围是．
8.解：（1）由抛物线的性质可知，抛物线的准线为，
抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离，
由题意知，点的横坐标为，则。
（2）当时，。
由曲线：知：
点的纵坐标为，则。
由于在线段上，则点的纵坐标取值在之间。
由题意，，则的纵坐标为，
故，的中点坐标为。
由于，由题意可知的斜率存在，则可设直线的方程为：，
所以将点的坐标代入方程得，
解得，则直线的方程为。
代入抛物线方程得。
由于、均在直线上，则的边边长为，
边上的高等于，
则。
（3）存在以、为邻边的矩形，使得点在上。
当时，，点的纵坐标为，则。
设，。
①若，则点，而点，则轴。
若以、为邻边的四边形为矩形，则，
则轴，故点。此时点，由于，
则点不在上，此情况不成立。
②当时，直线的斜率可以表示为
由于，则直线的斜率可以表示为。
所以直线的方程为，
当时，，
所以。
而在以、为邻边的四边形中，、为不相邻的两个顶点，
则。
而，，
则。
故点。
当点点在上时，有，
移项后去分母整理得，解得。
而，则，故。
综上所述，存在以、为邻边的矩形，使得点在上，此时点。