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2021届高考数学 小题必练4 等差数列与等比数列

2021届高考数学 小题必练4 等差数列与等比数列

年级：
姓名：

9

1．掌握等差数列与等比数列通项公式．
2．掌握等差数列与等比数列的性质及其应用．
3．掌握等差数列与等比数列的前项和公式．

1．【2020全国高考真题（理）】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块，已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）

A．块 B．块 C．块 D．块
【答案】C
【解析】设第环天石心块数为，第一层共有环，
则是以为首项，为公差的等差数列，，
设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，
因为下层比中层多块，所以，
即，
即，解得，
所以，故选C．
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题．
2．【2020海南高考真题】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为________．
【答案】
【解析】因为数列是以为首项，以为公差的等差数列，
数列是以首项，以为公差的等差数列
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查等差数列前项和公式，属于基础题．

一、单选题．
1．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．
设正数的等比数列的公比为，
则，解得，
∴，故选C．
2．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：由已知，所以，
因为数列的各项均为正，所以，，
故选C．
3．数列中，，，若，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在等式中，令，可得，∴，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
∴，
∴，则，解得，
故选C．
4．已知等差数列的前项和，公差，．记，，，
下列等式不可能成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可得，而，
即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，
由，可得，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，，
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由，可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴，即；
当时，，∴，即，所以，D不正确，
故选D．
5．在等差数列中，若，，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，由等差中项公式，得，
同理，得，
∴．∴，
∴，故选C．
6．一个等比数列的前项和为，前项和为，则前项和为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，
即，，，，…成等比数列，
题中，，，
根据等比中项性质有，则，
故本题正确选项为A．
7．在等差数列中，，，则此数列前项和等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】数列前项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，
因此和为，选B．
8．已知等比数列中，，是方程的两根，则的值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，是方程的两根，
所以由韦达定理可得，，
即，所以，
由等比数列的性质知,，
因为，所以，所以，故选A．

二、多选题．
9．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．与均为的最大值
【答案】BD
【解析】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：
是等差数列，若，则，故B正确；
又由，得，则有，故A错误
而C选项，，即，可得，
又由且，则，必有，显然C选项是错误的；
∵，，∴与均为的最大值，故D正确，
故选BD．
10．已知数列的前项和为，且满足，，则下列说法错误
的是（）
A．数列的前项和为 B．数列的通项公式为
C．数列为递增数列 D．数列为递增数列
【答案】ABC
【解析】数列的前项和为，且满足，，
∴，化为，
∴数列是等差数列，公差为，
∴，可得，
∴时，，
∴，
对选项逐一进行分析可得，A，B，C三个选项错误，D选项正确，
故选ABC．
11．已知数列的前项和为且满足，，下列命题中正确的是（）
A．是等差数列 B．
C． D．是等比数列
【答案】ABD
【解析】因为，，所以，
所以是等差数列，A正确；
公差为，又，所以，，B正确；
时，由，求得，但不适合此表达式，因此C错；
由，得，∴是等比数列，D正确，
故选ABD．
12．等差数列的首项，设其前项和为，且，则（）
A． B．
C． D．的最大值是或者
【答案】BD
【解析】，
因为，所以，，最大，
故选BD．

三、填空题．
13．记为等差数列的前项和．若，，则_______．
【答案】
【解析】∵是等差数列，且，，
设等差数列的公差，
根据等差数列通项公式：，
可得，即，
整理可得，解得，
∵根据等差数列前项和公式：，
可得：，
∴，故答案为．
14．已知数列是等差数列，是其前项和．若，，则的值
是_____．
【答案】
【解析】由题意可得，解得，
则．
15．记为等差数列的前项和，若，，则___________．
【答案】
【解析】，得，
∴．
16．记为数列的前项和，若，则_________．
【答案】
【解析】根据，可得，
两式相减得，即，
当时，，解得，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，故答案是．