1、一元二次不等式及其解法-知识点剖析 一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 1一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式： （1）ax2+bx+c0（a0）； （2）ax2+bx+c0）. 上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax2+bx+c=0的根确定.设=b2-4ac，则： 0时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的解x1、x2，则不等式（1）的解集为x|xx2或xx1，不等式（2）的解集为x|x1xx2； =0时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的解，即x1=x2，则不等式（1）的解集为x|xx1，不等式（2）的解集为； 0时，解形如ax2+bx+c0（0）或ax2
2、+bx+c0对一切xR都成立的条件为ax2+bx+c0=00）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根有两相异实根x1，2=有两相等实根x1=x2=-没有实根一元二次不等式的解集ax2+bx+c0（a0）x|xx2或xx1xR|x-Rax2+bx+c0）x|x1x0与或同解；与f（x）g（x）0同解0与或，同解；与f（x）g（x）a（a0）与0同解；与g（x）f（x）-ag（x）0同解 四、简单的一元高次不等式的解法 一元高次不等式f（x）0用穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤是： （1）将f（x）最高次项的系数化为正数； （2）将f（x）分解为若干个一次因式的积或二次不可分因
3、式之积； （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过）； （4）根据曲线显现出的f（x）值的符号变化规律，写出不等式的解集. 例：解不等式（x+2）（x+1）2（x-1）3（x-2）0. 解：原不等式变为（x+2）（x-1）（x-2）0或x=-1，各因式的根为-2，1，2，利用穿根法，原不等式的解集为x|x-2或1x2或x=-1.知识探究 问题1：解一元二次不等式应该注意哪些问题? 探究：要将二次项系数化为正，例如：解不等式-x2-2x-10求解. 若一元二次不等式中二次项系数含字母，一般需要对二次项系数进行讨论，当两根
4、的大小不确定时，还应对两根的大小进行讨论. 例如：解关于x的不等式ax2-（a+1）x+11； 若a0x|x1； 若a0，原不等式（x-）（x-1）1时，式x|x1； 当0a1时，式x|1x. 注：对上述类型的二次不等式要搞清楚讨论的依据. 问题2：解简单的分式不等式应该注意哪些问题？ 探究：对于简单的分式不等式不能直接去分母，要把不等号的一边化为0，然后用商的符号法则化为不等式（组）求解. 例如：解不等式3，应先将不等式转化为-30，即0，可化为或，（即化为不等式），也可直接等价于2（x-1）（x+1）0（转化为不等式）来求.还应注意对含等号的分式不等式，首先保证分母不为0. 例如：解不等式10或或直接等价于练习请你和你的同学根据下面所给的材料，探究、讨论窗户应设计成怎样的尺寸. 要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户（如图3-2-4所示），在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸?图3-2-4
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