2022版高考数学一轮复习-练案56-第八章-解析几何-第八讲-曲线与方程新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 练案56 第八章 解析几何 第八讲 曲线与方程新人教版

2022版高考数学一轮复习 练案56 第八章 解析几何 第八讲 曲线与方程新人教版

年级：
姓名：

第八讲　曲线与方程
A组基础巩固
一、单选题
1．(2021·河北“五个一名校联盟”联考)“直线l与曲线C只有一个交点”是“直线l与曲线C相切”的(　D　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件
[解析]　若直线l与曲线C只有一个交点，直线l与曲线C不一定相切，比如当直线l与双曲线的渐近线平行时，直线l与该双曲线只有一个交点，但不是相切；反之，若直线l与曲线C相切，直线l与曲线C也不一定只有一个交点．
2．(2021·百师联盟联考)方程x4＋y4＝4(x2＋y2)所表示曲线的大致形状为(　A　)

[解析]　令x＝0，解得y＝±2，令y＝0，解得x＝±2，故排除C、D选项；易知该函数图象不是圆，排除B选项，又因为(0,0)点满足条件，故选A.
3．(此题为更换后新题)(2021·山东青岛黄岛区期末)已知相距1400 m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3 s，已知声速是340 m/s，则炮弹爆炸点在 上．(　D　)
A．圆　　 B．椭圆　　
C．抛物线　　 D．双曲线
[解析]　设炮弹爆炸点为P，则||PA|－|PB||＝1020<1400＝|AB|，∴点P在以A、B为焦点的双曲线上，故选D.
3．(此题为发现的重题，更换新题见上题)(2021·重庆一中月考)已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　D　)
A．双曲线　　 B．椭圆　　
C．圆　　 D．抛物线
[解析]　连接MF，由中垂线性质知|MB|＝|MF|，

即M到定点F的距离与它到直线x＝－距离相等．
∴点M的轨迹是抛物线，∴D正确．
4．(2021·江西省萍乡市模拟)已知动圆C经过点A(2,0)，且截y轴所得的弦长为4，则圆心C的轨迹是(　D　)
A．圆　　 B．椭圆　　
C．双曲线　　 D．抛物线
[解析]　设圆心C(x，y)，弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|＝2，∴|CA|2＝|BC|2＝|BE|2＋|CE|2，∴(x－2)2＋y2＝22＋x2，化为y2＝4x，y2＝4x为抛物线．

5．(2021·四川雅安调研)设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是(　B　)
A．圆　　 B．两条平行直线
C．抛物线　　 D．双曲线
[解析]　设P(1，a)，Q(x，y)．以点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，＝－1，x＝－ay，∵|OP|＝|OQ|，∴1＋a2＝x2＋y2＝a2y2＋y2＝(a2＋1)y2，而a2＋1>0，∴y2＝1，∴y＝1或y＝－1，∴动点Q的轨迹是两条平行于x轴的直线．
6．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”，以下曲线不是“好曲线”的是(　B　)
A．x＋y＝5　　 B．x2＋y2＝9

C．＋＝1　　 D．x2＝16y
[解析]　M点的轨迹是双曲线 －＝1，依题意，是“好曲线”的曲线与M点的轨迹必有公共点．四个选项中，只有圆x2＋y2＝9与M点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M点的轨迹都有公共点，所以圆x2＋y2＝9不是“好曲线”．
7．(2021·浙江台州六校期中联考)若平面上两点A(－2,0)，B(1,0)，则l：y＝k(x－1)上满足|PA|＝2|PB|的点P的个数为(　C　)
A．0　　 B．1
C．2　　 D．与实数k的取值有关
[解析]　设P(x，y)，则由题意知＝2，化简得x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，显然直线l过定点H(1,0)，且H在圆(x－2)2＋y2＝4内，∴直线上满足|PA|＝2|PB|的点P有2个，故选 C．
8．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(　A　)
A．x2＝2y－1　　 B．x2＝2y－
C．x2＝y－　　 D．x2＝2y－2
[解析]　把抛物线方程y＝x2化成标准形式x2＝4y，可得焦点F(0,1)，
设P(x0，y0)，PF的中点为M(x，y)．
由中点坐标公式得，∴
又∵P(x0，y0)在抛物线y＝x2上，
∴2y－1＝(2x)2，即x2＝2y－1，故选A.
9．设A1、A2是椭圆＋＝1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点P的轨迹方程为(　C　)
A．＋＝1　　 B．＋＝1

C．－＝1　　 D．－＝1
[解析]　解法1：设交点P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，
P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，
∵A1、P1、P共线，∴＝，
∵A2、P2、P共线，∴＝.
解x0＝，y0＝，代入得＋＝1，即－＝1，
答案：
C．
解法2：设P1、P2两点的横坐标为x＝3cos θ，
又A1(－3,0)，A2(3,0)，
P1(3cosθ，2sin θ)，P2(3cos θ，－2sin θ)，
故直线A1P1和A2P2方程分别为
y＝(x＋3)，y＝(x－3)．
设交点P(x，y)，则y2＝(x2－9)，
即－＝1.
二、多选题
10．当α∈时，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示的轨迹可以是(　ACD　)

A．两条直线　　 B．圆
C．椭圆　　 D．双曲线
[解析]　当α∈时，sin α∈，∈(1，)，cos α∈，∈(，＋∞)，
>>0.
方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为＋＝1，
表示焦点在y轴上的椭圆．
当α＝时，sin α＝1，cos α＝0，方程x2sin α＋y2cos α＝1化为x2＝1，x＝±1，表示两条直线．
当α∈时，
sin α∈，∈(1，)，
cos α∈，∈(－∞，－)，
方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为－＝1，
表示焦点在x轴上的双曲线．
所以曲线不可能表示圆，故选A、C、D.
11．(2021·湖南益阳调研)已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论正确的是(　AC　)
A．C的焦距为4
B．C的离心率为
C．C的渐近线方程为y＝±x
D．直线2x－y－1＝0与C有两个公共点
[解析]　由题意知－＝1，∴m＝1，∴c＝＝2，∴焦距2c＝4，A正确；e＝＝＝，B错；显然C正确；由得9y2－2y＋11＝0，由Δ＝(2)2－4×9×11<0知直线2x－y－1＝0与C没有公共点，故D错．∴选AC．
三、填空题
12．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是　＋＝1(y≠0)　.
[解析]　设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，所以抛物线的焦点轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
13．过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为 y2＝4(x－2) .
[解析]　设直线方程为y＝k(x－1)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由＝，得(x1，y1)＝(x－x2，y－y2)．
得x1＋x2＝x，y1＋y2＝y.
由联立得x＝x1＋x2＝.
y＝y1＋y2＝，消去参数k，得y2＝4(x－2)．
14．已知线段PQ的长为1，若P、Q分别在椭圆＋y2＝1和x轴上运动，则线段PQ的中点M的轨迹方程是　＋4y2＝1　.

[解析]　设M(x，y)，P(2cos θ，sin θ)，
由|PQ|＝1可得Q(3cos θ，0)或Q(cos θ，0)，
(ⅰ)当Q(3cos θ，0)时，x＝，y＝，
消去θ得x2＋4y2＝1，
(ⅱ)当Q(cos θ，0)时，x＝，y＝，
消去θ得x2＋4y2＝1，
∴动点P的轨迹方程为＋4y2＝1.
15．已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足＝3，记动点P的轨迹方程为曲线C．则曲线C的方程为　＋y2＝1　.
[解析]　(1)设P(x，y)，A(m,0)，B(0，n)，
∵＝3，
∴(x，y－n)＝3(m－x，－y)＝(3m－3x，－3y)，
即，∴.
又|AB|＝4，∴m2＋n2＝16.从而＋16y2＝16.
∴曲线C的方程为＋y2＝1.
四、解答题
16．(2021·河北张家口、衡水、邢台联考)在平面直角坐标系xOy中，已知F(2,0)，M(－2,3)，动点P满足|·|＝||.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点D(1,0)作直线AB交C于A，B两点，若△AFD的面积是△BFD的面积的2倍，求|AB|
[解析]　(1)设P(x，y)，则＝(x＋2，y－3)，
＝(2,0)，＝(2－x，－y)．
由|·|＝||，得|x＋2|＝.
化简得y2＝8x，
即动点P的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知
S△AFD＝FD·|y1|，S△BFD＝FD·|y2|，
因为S△AFD＝2S△BFD，所以|y1|＝|2y2|，易知y1y2<0，
所以y1＝－2y2. ①
设直线AB的方程为x＝my＋1，
联立消去x，
得y2－8my－8＝0，则Δ＝64m2＋32>0，
y1＋y2＝8m，②
y1y2＝－8，③
由①②③解得m＝±，所以
|AB|＝|y1－y2|＝|24m|＝×6＝.
B组能力提升
1．(2021·上海静安区二模)方程2x2－9xy＋8y2＝0的曲线C所满足的性质为(　A　)
①不经过第二、四象限；②关于x轴对称；③关于原点对称；④关于直线y＝x对称．
A．①③　　 B．②③　　
C．①④　　 D．①②
[解析]　由题意，2x2－9xy＋8y2＝0化为：9xy＝2x2＋8y2≥0，说明x，y同号或同时为0，所以图形不经过第二、四象限；①正确．－y换y，方程发生改变，所以图形不关于x轴对称，所以②不正确；以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以③正确；方程2x2－9xy＋8y2＝0，x，y互换方程化为：8x2－9xy＋2y2＝0，方程已经改变；所以④不正确；故选A.
2．(2021·怀化调研)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P是椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(　C　)
A．＋＝1(y≠0)　　 B．＋y2＝1(y≠0)

C．＋3y2＝1(y≠0)　　 D．x2＋y2＝1(y≠0)
[解析]　由题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，
设P(2cos θ，sin θ)，G(x，y)，
则，消去θ得＋3y2＝1，
又G、F1、F2不共线，∴y≠0.
∴重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)，故选 C．

3．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　C　)
A．－＝1　　 B．－＝1

C．－＝1(x＞3)　　 D．－＝1(x＞4)
[解析]　如图，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，

所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
4．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(　A　)
A．y2－＝1(y≤－1)　　 B．y2－＝1
C．y2－＝－1　　 D．x2－＝1
[解析]　显然|AC|＝13，|BC|＝15，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝2.∴F的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的下支，故选A.
5．如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是(　C　)

A．直线　　 B．抛物线
C．椭圆　　 D．双曲线的一支
[解析]　

可构造如图所示的圆锥．母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆，故选 C．