初中数学一元二次方程的解法.doc

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解一元二次方程：
例1 x2—4-（2x+4）=0
（因式分解法）解：（x+2）（x-2）—2(x+2)=0
（x+2)［（x—2)—2]=0
（x+2）(x-4）=0
所以 x1=-2 ， x2=4。
（配方法)解：x2-2x-8=0
X2-2x=8
X2-2x+（—1）2=8+（-1)2
即(x—1）2=9
X-1=3

所以 x1=4 , x2=—2.
（公式法）解：x2-2x-8=0
→Δ=(—2)2—4×1×(-8）
=36〉0
所以 x1,2=
即x1=4 , x2=-2.
（“x2+（a+b)x+ab=0→（x+a)(x+b）=0”法)
解：x2-2x+(—4)=0
(X—4）（x+2)=0
所以 x1=4 ， x2=-2.
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例2 用配方法解下列一元二次方程：
（1) x2-6x+5=0; （2) 2x2+4x—3=0;
（3) 9x2+6x—1=0；
（4） 4x2-12x+m=0 (m为任意实数)。
解：(1） x2-6x=-5
X2—6x+(-3）2=—5+（—3)2
即（x-3）2=4
X-3=2
所以 x1=5 , x2=1.
（2) x2+2x=
X2+2x+12=+12
(X+1)2=
X+1=
所以 x1=-1+ , x2=-1-
（3) (3x）2+2×3x=1
（3x)2+2×3x×1+12=1+12
(3x+1）2=2
3x+1=
所以x1= ,x2=-.

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(4） (2x）2-2×2x×3=-m
(2x)2-2×2x×3+32=—m+32
(2x-3)2=9-m
所以 ①当9—m≥0即m≤9时 ，2x—3=
X1= ， x2=;
②当9—m<0即m>9时 ，方程无实根.
例3 用公式法解下列一元二次方程：
（1） 2x2—3x+1=0; (2) 3x2+1=2x;
（3） x(1-2x)+3=0; (4） x2—2x=t （t为任意实数）。
解：（1）由一元二次方程的一般式知 a=2,b=-3,c=1;
→Δ=b2—4ac
=（-3)2—4×2×1
=1>0
所以 x1，2=
即x1=1 , x2=.

(2)方程整理为3x2-2x+1=0
→Δ=（-2）2—4×3×1
=-8<0
所以 方程无实根。
3
(3) 方程变形为2x2—x-3=0
→Δ=(—1）2—4×2×（-3）
=25>0
所以 x1，2=
即x1= ， x2=—1.
(4) X2-2x—t=0
→Δ=（-2)2-4×1×（—t)
=4(t+1）
① 当Δ≥0即t≥-1时，x1，2=
即x1=1+ , x2=1—。
② 当Δ<0即t〈-1时，方程无解。
例4 用因式分解法解下列方程：
（1) （2x+3）2-2x=3； (2) （y-1)2+2y（y-1)=0;
(3） （2x—1）2—1=x2—2x； （4) t2—5t-6=0.
解: (1) 原方程可变形为(2x+3)2—（2x+3)=0
（2x+3）[(2x+3）-1］=0
即2(2x+3）（x+1）=0
故 2x+3=0 或 x+1=0
所以 x1=— , x2=-1。
(2） 提取公因式得（y—1)[(y-1)+2y]=0
即(y—1）(3y-1)=0 4
故 y-1=0 或 3y-1=0
所以 y1=1 , y2=。
(3) 原方程移项，整理得(2x—1）2-(x2—2x+1）=0
(2x-1）2-(x—1)2=0
[（2x-1）+（x—1）］［(2x—1)-（x-1）］=0
即x（3x-2)=0
所以 x1=0 ， x2=.
(4) (变形1) t2—1-5t—5=0
(t+1)(t-1)-5（t+1）=0
提取公因式得(t+1）［(t-1)-5］=0
即(t+1）(t-6)=0
所以 t1=-1 ， t2=6.
（变形2）t2+t—6t-6=0
t(t+1)—6（t+1)=0
提取公因式得（t+1)(t—6）=0
所以 t1=—1 , t2=6

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