2022届高考数学统考一轮复习-第4章-三角函数、解三角形-第3节-第1课时-两角和与差的正弦、余弦.doc

2022届高考数学统考一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第3节 第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式教案 理 新人教版

2022届高考数学统考一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第3节 第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式教案 理 新人教版

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　三角恒等变换
[考试要求]　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
提醒：(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况．

(2)二倍角是相对的，如是的2倍，3α是的2倍．
3．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).

1．公式的常用变式
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
sin 2α＝＝；
cos 2α＝＝.
2．降幂公式
sin2α＝；
cos2α＝；
sin αcos α＝sin 2α.
3．升幂公式
1＋cos α＝2cos2；
1－cos α＝2sin2；
1＋sin α＝；
1－sin α＝.
4．半角正切公式
tan ＝＝.

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (　　)
(2)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关． (　　)
(3)cos θ＝2cos2－1＝1－2sin2. (　　)
(4)当α是第一象限角时，sin ＝. (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
二、教材习题衍生
1．已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos为(　　)
A． B．－ C． D．－
A　[∵cos α＝－，α是第三象限角，
∴sin α＝－＝－.
∴cos＝(cos α－sin α)＝
＝.故选A．]
2．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
A　[∵sin α－cos α＝，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，
∴sin 2α＝－.
故选A．]
3．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ .
　[原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°
＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)
＝sin 30°＝.]
4．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝ .
　[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.]
第1课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式

考点一　公式的直接应用
　应用公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
[典例1]　(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)
A． B． C． D．
(2)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
①求cos 2α的值；
②求tan(α－β)的值．
(1)A　[由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，
解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．
又∵α∈(0，π)，∴sin α＞0，
∴sin α＝＝＝，故选A．]
(2)[解]　①因为tan α＝，
所以sin α＝cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
因此cos 2α＝2cos2α－1＝－.
②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.

1．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
D　[由已知得2tan θ－＝7，得tan θ＝2.]
2．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A． B． C． D．
B　[由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos2α.
∵α∈，∴cos α≠0，
∴2sin α＝cos α，∴tan α＝，∴sin α＝.故选B．]
考点二　公式的逆用和变形

两角和、差及倍角公式的逆用和变形的技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)公式的一些常用变形
①sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
②cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
③1±sin α＝2；
④sin 2α＝＝；
⑤cos 2α＝＝；
⑥tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
　公式的逆用
[典例2－1]　(1)(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)
A． B． C． D．
(2)化简＝ .
(1)B　(2)　[(1)由sin θ＋sin＝1，得sin θ＋sin θcos ＋cos θsin ＝1，
整理得sin θ＋cos θ＝1，
即＝1，
即sin＝1，
∴sin＝，故选B．
(2)＝
＝＝＝.]
点评：(1)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
　公式的变形
[典例2－2]　(1)若0＜θ＜π，
则＝ .
(2)化简sin2＋sin2－sin2α的结果是 ．
(1)－cos θ　(2)　[(1)由θ∈(0，π)，得0＜＜，
∴cos ＞0，
∴＝＝2cos .
又(1＋sin θ＋cos θ)
＝
＝2cos ＝－2cos cos θ，
故原式＝＝－cos θ.
(2)原式＝＋－sin2α
＝1－－sin2α
＝1－cos 2α·cos －sin2α
＝1－－＝.]

1．设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，
b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
D　[由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x，x∈为增函数，所以sin 13°＞sin 12°＞sin 11°，所以a＞c＞b.故选D．]
2．若α＋β＝－π，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
2　[由α＋β＝－π得tan(α＋β)＝tan＝1，
∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β
＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＋1
＝1－tan αtan β＋tan αtan β＋1＝2.]
考点三　利用“角的变换”求值
　三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
[典例3]　(1)已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　)
A． B． C． D．
(2)若α∈，且sin＝，则cos＝ .
(3)已知sin＝，则cos＝ .
(1)D　(2)　(3)－　[(1)法一：cos x＋cos＝cos＋cos
＝2coscos＝，故选D．
法二：cos x＋cos＝cos x＋cos xcos ＋sin xsin ＝sin x＋cos x
＝＝cos
＝，故选D．
(2)由于角α为锐角，且sin＝，
则cos＝，
则cos＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝×＋×＝.
(3)cos＝cos＝sin＝，
∴cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.]
点评：常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．

1．已知sin＝，α∈，
则(1)cos α＝ ；
(2)sin＝ .
(1)－　(2)－　[(1)由α∈知α＋∈，
∴cos＝－＝－＝－，
∴cos α＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝－×＋×＝－.
(2)由α∈和(1)知，得sin α＝.
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－，
∴sin＝sin 2αcos －cos 2αsin
＝＝－.]
2．已知cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为 ．
　[cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝，
所以cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－＝.]