2022版高考数学一轮复习-练案第四章-平面向量、数系的扩充与复数的引入-第二讲-平面向量的基本定理.doc

2022版高考数学一轮复习 练案第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示练习新人教版

2022版高考数学一轮复习 练案第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示练习新人教版

年级：
姓名：

第二讲　平面向量的基本定理及坐标表示
A组基础巩固
一、选择题
1．在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是(　D　)

A．(2,2)　　 B．(－2，－2)
C．(1,1)　　 D．(－1，－1)
[解析]　因为A(2,2)，B(1,1)，所以＝(－1，－1)．故选D.
2．(2021·巴中模拟)向量＝(2,3)，＝(4,7)，则等于(　B　)
A．(－2，－4)　　 B．(2,4)
C．(6,10)　　 D．(－6，－10)
[解析]　＝－＝(2,4)．故选B.
3．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝(　B　)
A．2　　 B．3　　　
C．4　　 D．6
[解析]　因为a∥b，所以2×6－4x＝0，解得x＝3.故选B.
4．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是(　D　)
A．a＝(1,2)，b＝(0,0)
B．a＝(1，－2)，b＝(3，－6)
C．a＝(3,2)，b＝(9,6)
D．a＝，b＝(－3，－2)
[解析]　在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选D.
5．(2021·抚州模拟)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝(　B　)
A．3a＋b　　 B．3a－b
C．－a＋3b　　 D．a＋3b
[解析]　解法一：设c＝ma＋nb，则(4,2)＝(m－n，m＋n)，所以所以所以c＝3a－b.
解法二：代入验证法对于A,3a＋b＝3(1,1)＋(－1,1)＝(2,4)≠c，故A不正确；同理选项C、D也不正确；对于B,3a－b＝(4,2)＝c，故B正确．
6．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　B　)

A．2　　 B．4　　　
C.　　 D．
[解析]　以向量a和b的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，

则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)．
所以a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
∴解得∴＝4.
7．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且||＝||，则P点的坐标为(　D　)
A．(－8,1)　　 B．
C.或(－8,1)　　 D．或
[解析]　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，
而＝(－8,1)＝，当＝时，
有解得
所以P点坐标为.
同理当＝－时，可解得P.故选D.
8．(2020·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB，若点C满足＝2，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＋＝(　D　)

A.　　 B．　　　
C.　　 D．
[解析]　∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝，μ＝，∴＋＝3＋＝.故选D.
二、填空题
9．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为__(2,4)__．
[解析]　∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴＝2.
设点D的坐标为(x，y)，则＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x ,2－y)＝(2，－2)，
∴解得
故点D的坐标为(2,4)．
10．(2021·广西贺州联考)已知向量＝(m，n)，＝(2,1)，＝(3,8)，则mn＝__7__.
[解析]　∵＝＋＝(m＋2，n＋1)＝(3,8)，
∴m＋2＝3，n＋1＝8，∴m＝1，n＝7，∴mn＝7.
11．设向量a＝(3,2)，b＝(－1,3)，向量λa－2b与a＋b平行，则实数λ＝__－2__.
[解析]　∵a＝(3,2)，b＝(－1,3)，
∴λa－2b＝(3λ＋2,2λ－6)，a＋b＝(2,5)，
又λa－2b与a＋b平行，
所以5(3λ＋2)＝2(2λ－6)整理得11λ＝－22，即λ＝－2.
12．(2021·江西南昌模拟)已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2，a＝λb(λ<0)，则m－n＝__－6__.
[解析]　∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)，∴由|a|＝2，a＝λb(λ<0)，得m2＋n2＝20　①，　②，联立①②，解得m＝－2，n＝4.∴m－n＝－6.
三、解答题
13．已知向量a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：
(1)|a＋3b|；
(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？
[解析]　(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，
所以a＋3b＝(7,3)，
故|a＋3b|＝＝.
(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，
因为ka－b与a＋3b平行，
所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－.
此时ka－b＝(k－2，－1)＝，
a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，
即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．
14．(2021·河北六校第三次联考)已知向量a＝(2＋sin x,1)，b＝(2，－2)，c＝(sin x－3,1)，d＝(1，k)，x∈R，k∈R.
(1)若x∈，且a∥(b＋c)，求x的值；
(2)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)b＋c＝(sin x－1，－1)，因为a∥(b＋c)，
所以－(2＋sin x)＝sin x－1，即sin x＝－.
又x∈[－，]，所以x＝－.
(2)a＋d＝(3＋sin x,1＋k)，b＋c＝(sin x－1，－1)，
若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，
即(3＋sin x)(sin x－1)－(1＋k)＝0，
所以k＝sin2x＋2sin x－4＝(sin x＋1)2－5，
由sin x∈[－1,1]，可得k∈[－5，－1]，
所以存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．
B组能力提升
1．(2021·吉林重点高中月考]如图，若＝a，＝b，＝c，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是(　C　)

A．c＝b－a　　 B．c＝b＋a
C．c＝b－a　　 D．c＝b＋a
[解析]　本题考查向量的线性运算．c＝＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝b－a.
2．(2021·湖北四校调研)如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝3DC.若＝λ＋μ，则＝(　B　)

A.　　 B．　　　
C．2　　 D．
[解析]　本题考查向量的线性运算.＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝，μ＝，从而求得＝，故选B.
3．(2021·甘肃西北师大附中模拟)已知向量a＝(2，－1)，b＝(6，x)，且a∥b，则|2a－b|＝(　C　)
A．5　　 B．2　　　
C.　　 D．4
[解析]　本题考查向量模的计算，向量平行的坐标运算，因为a∥b，所以2x＋6＝0，解得x＝－3，故b＝(6，－3)．所以2a－b＝(4，－2)－(6，－3)＝(－2,1)．所以|2a－b|＝＝.
4．(理)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量＝a，＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是(　A　)

(文)(2020·宁波模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为(　B　)
A．30°　　 B．60°　　　
C．90°　　 D．120°
[解析]　(理)由题意知＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，从而选A.
(文)由题意得(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，得a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝，因为0°