2022版高考数学一轮复习-第10章-计数原理、概率、随机变量及其分布-第5节-事件的独立性与条件概.doc

2022版高考数学一轮复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第5节 事件的独立性与条件概率及其关系、全概率公式学案新人教B版

2022版高考数学一轮复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第5节 事件的独立性与条件概率及其关系、全概率公式学案新人教B版

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第5节　事件的独立性与条件概率及其关系、全概率公式

一、教材概念·结论·性质重现
1．条件概率
定义
一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率
表示
P(A|B)
计算公式
P(A|B)＝
性质
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)P(A|A)＝1；
(3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
2.事件的相互独立性
事件A与事件B相互独立
对任意的两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立)
性质
如果事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)

(1)易混淆“相互独立”和“事件互斥”
两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．
(2)易混淆P(B|A)与P(A|B)
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．
3．全概率公式
(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．
(2)定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝P(BAi)＝P(Ai)P(B|Ai)．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)相互独立事件就是互斥事件．( × )
(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( × )
(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．( √ )
(4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( √ )
2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们的大小和形状完全相同．甲每次从中任取一个球不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
B　解析：设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B.依题意P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
故在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率P(B|A)＝＝.
3．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　)
A．0.2 B．0.3
C．0.38 D．0.56
C　解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，
所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.
4．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9，0.8.则甲正点到达目的地的概率为(　　)
A．0.72 B．0.96
C．0.86 D．0.84
C　解析：设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故选C.
5．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
0.128　解析：记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A.由题意知，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.

考点1　相互独立事件的概率——基础性

1．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能处理器“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯拉完全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI芯片“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为(　　)
A. B.
C. D.
D　解析：根据题意可知，1名学生从15项中任选1项，其中选择“芯片领域”的概率为＝，故其没有选择“芯片领域”的概率为，则3名学生均没有选择“芯片领域”的概率为××＝.因此至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为1－＝.故选D.
2．(2020·天津市和平区高三二模)已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次(假定费用只可能为1,2,3元)．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5，0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2，0.4，则甲、乙两人租车费用相同的概率为(　　)
A．0.18 B．0.3
C．0.24 D．0.36
B　解析：由题意知甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4.所以甲、乙两人所租车费用相同的概率为p＝0.5×0.2＋0.2×0.4＋0.3×0.4＝0.3.
3．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
解：(1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×04]×0.5×0.4＝0.1.

求相互独立事件同时发生的概率的主要方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
(2)正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
考点2　条件概率——基础性

(1)2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁和4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家．设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P(A|B)＝(　　)
A. B.

C. D.
A　解析：事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，
则P(AB)＝＝，P(B)＝＝，P(A|B)＝＝.故选A.
(2)一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)，P(A|B)．

解：如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，
所以n(AB)＝1，
所以P(AB)＝，P(A|B)＝＝.

求条件概率的两种方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，这是求条件概率的通法．
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的样本点数n(AB)，得P(B|A)＝.

1．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着．现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(　　)
A. B.
C. D.
D　解析：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝，则所求的概率为P(B|A)＝＝＝.
2．将三颗骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不相同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.
　　解析：P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率．因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91(种)情况，“至少出现一个6点且三个点数都不相同”共有C×5×4＝60(种)情况，所以P(A|B)＝.
P(B|A)的含义是在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率．因为“三个点数都不相同”有6×5×4＝120种)情况，所以P(B|A)＝.
考点3　全概率公式——基础性

甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝＝28，
这2个产品都是次品的事件数为C＝3.
所以这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，
P(B3)＝＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，
P(A|B3)＝，
所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝.

通常把B1，B2，…，Bn看成导致A发生的一组原因．如若A是“次品”，必是n个车间生产了次品；若A是“某种疾病”，必是几种病因导致A发生；若A表示“被击中”，必有几种方式或几个人打中．
(1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生．
(2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼此互斥事件的和．
(3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合．

一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次，求第二次取到白球的概率．
解：A＝{第一次取到白球}，B＝{第二次取到白球}．
因为B＝AB∪B，且AB与B互斥，所以P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()·P(B|)＝×＋×＝0.6.