2022高考数学一轮复习-课时规范练54-几何概型北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 课时规范练54 几何概型北师大版

2022高考数学一轮复习 课时规范练54 几何概型北师大版

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课时规范练54　几何概型
基础巩固组
1.(2020广东佛山综合能力测试)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,它历史悠久,风格独特,深受人们喜爱.下图即是一副窗花,是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点,则该点不落在任何一个小正方形内的概率是(　　)

A.37 B.47
C.57 D.67
2.(2020四川达州高三诊断)已知α∈[0,π],则满足sin α问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图,若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为(　　)

A.1213 B.1314
C.2129 D.1415
5.(2020河南平顶山高三线上联考)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中把三角形的田称为“圭田”,把直角梯形的田称为“邪田”,称底是“广”,高是“正从”,“步”是丈量土地的单位.现有一邪田,广分别为八步和十二步,正从为八步,其内部有块广为八步,正从为五步的圭田,若将100棵果树均匀地种植在邪田,一年后,每棵果树都有60 kg果子收成,则此圭田中的收成约为(　　)
A.25 kg B.50 kg
C.1 500 kg D2 000 kg
6.(2018全国1,理10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则(　　)

A.p1=p2
B.p1=p3
C.p2=p3
D.p1=p2+p3
7.已知圆柱OO'的底面半径为1,高为6,若区域M表示圆柱OO'及其内部,区域N表示圆柱OO'内到下底面的距离大于1的点组成的集合,若向区域M中随机投一点,则所投的点落入区域N中的概率为(　　)
A.13 B.23
C.56 D.16
8.在区间[-π,π]上随机取两个实数a,b,记向量OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OA·OB≥4π2的概率为(　　)
A.1-π8 B.1-π4
C.1-π2 D.1-3π4
9.(2020陕西汉中高三检测)设D是半径为R的圆周上一定点,在圆周上随机取一点C,连接CD得一弦,若A表示事件“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”,则事件A发生的概率P(A)=　　　　　. 
10.割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”,刘徽称之为“以盈补虚”,即以多余补不足,是数量的平均思想在几何上的体现.下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法,在△ABC内任取一点,则该点落在标记“盈”的区域的概率为　　　　　. 

综合提升组
11.已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=x+b.当实数b∈[0,6]时,圆C上恰有2个点到直线l的距离为1的概率为(　　)
A.23 B.22
C.12 D.13
12.(2020河北衡水高三质检)圆周率是圆的周长与直径的比值,一般用希腊字母π表示.我们也可以通过如下随机模拟试验来估计π的值:在区间(0,1)内随机取2m个数,构成m个数对(x,y),设x,y能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)有n对,则通过随机模拟的方法得到的π的近似值为(　　)
A.m+2nm B.m+2nn
C.2m+4nm D.m+2n2n
13.已知O,A,B三地在同一水平面内,A地在O地正东方向2 km处,B地在O地正北方向2 km处,某测绘队员在A,B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点,用测绘仪进行测绘,O地为一磁场,距离其不超过3 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是(　　)
A.1-22 B.22
C.1-32 D.12
14.已知某几何体的三视图如图所示,则在该几何体内随机取一点,则此点到线段AB的中点的距离不大于1的概率是　　　　　. 

15.记[m]表示不超过m的最大整数.若在x∈1812上随机取1个实数,则使得[log2x]为偶数的概率为　　　　　. 
创新应用组
16.(2020山西实验中学高三月考)我们可以用随机数法估计π的值,下面算法框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数,它能随机产生(0,1)内的任何一个实数).若输出的结果为521,则由此可估计π的近似值为(　　)

A.3.119 B.3.126
C.3.132 D.3.151
17.已知实数a,b满足0140,其中小正方形的面积为5×4×12=20,所以所求概率140-20140=67.
2.A　∵α∈[0,π],sinαP=xx+2=214214+2=2129,故选C.
5.C　12×8×512×(8+12)×8=x100×60,解得x=1500.
6.A　设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.所以以BC为直径的圆面积为πc22,以AB为直径的圆面积为πb22,以AC为直径的圆面积为πa22.所以SⅠ=12ab,SⅡ=12×πb24+12×πa24-12×πc24-12ab=12×π(b2+a2-c2)4+12ab=12ab,SⅢ=12×πc24-12ab,所以SⅠ=SⅡ,由几何概型,知p1=p2.故选A.
7.C　由题意,易知圆柱OO'的体积为V=π×12×6=6π.因为区域N表示圆柱OO'内到下底面的距离大于1的点组成的集合,所以区域N表示圆柱OO'内的一个小圆柱(与圆柱OO'共上底面),且小圆柱的体积为V1=π×12×(6-1)=5π.根据几何概型,得所投入的点落在区域N中的概率为P=V1V=5π6π=56,故选C.
8.B　在区间[-π,π]上随机取两个实数a,b,则点(a,b)在以2π为边长的正方形内,因为OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OA·OB=4a2+4b2.因为OA·OB≥4π2,所以a2+b2≥π2,点(a,b)在以原点为圆心,以π为半径的圆外,且在以2π为边长的正方形内,所以OA·OB≥4π2的概率为P=4π2-π34π2=1-π4,故选B.

9.13　

如图,△DPQ为圆内接正三角形,当点C位于劣弧PQ上时,弦DC>PD,
所以由几何概型的概率得P(A)=13.
10.14　由题得S△ABC=12ah,S矩形=a2h,
∴S△ABC=S矩形.所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积.而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一,所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一,故该点落在标记“盈”的区域的概率为14.
11.A　圆

C的圆心坐标为O(0,0),半径为2,直线l为:x-y+b=0.当b2=3,即b=32时,圆上恰有一个点到直线l距离为1,当b2=1,即b=2时,圆上恰有3个点到直线l距离为1.所以当b∈(2,32)时,圆上恰有2个点到直线l的距离为1,故概率为32-26=23.故选A.
12.C　依题有01,构成如图阴影部分,

其面积为π4-12,由几何概型概率计算公式得nm=π4-121,解得π=2m+4nm.
13.A　

由题意,△AOB是直角三角形,OA=OB=2,所以AB=22,O地为一磁场,距离其不超过3km的范围为1个圆,与AB相交于C,D两点,作OE⊥AB,交AB于点E,则OE=2,所以CD=2,所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1-CDAB=1-222=1-22.故选A.
14.13　根据几何体的三视图可知,该几何体是底面半径为1,高为2的圆柱,其体积为2π,线段AB是底面的直径,线段AB的中点是底面圆的圆心,几何体内到线段AB的中点的距离不大于1的点构成了以底面圆心为球心,半径为1的半球,其体积为12×43πr3×13=23π,所以所求的概率是23π2π=13.
15.23　若x∈18,12,
则log2x∈(-3,-1).
要使得[log2x]为偶数,
则log2x∈[-2,-1).
所以x∈14,12,
故所求概率P=12-1412-18=23.
16.B　模拟执行该算法框图,可知该框图是计算满足x,y,z∈(0,1)的1000组(x,y,z)数据中,满足x,y,z∈(0,1)且x2+y2+z2<1的组数,根据几何概型概率公式可得x,y,z∈(0,1)且x2+y2+z2<1发生的概率为43π×13×18=π6,当输出结果为521时,i=1001,m=521,x2+y2+z2<1发生的概率为P=5211000,∴5211000=π6,即π=3.126,由此可估计π的近似值为3.126,故选B.
17.516　对y=13ax3+ax2+b求导可得y'=ax2+2ax,00,b<0,
即4a+3b>0,b<0.
画出可行域如图,满足函数y=13ax3+ax2+b有三个零点,如图深色区域,实数a,b满足0