2021届高考数学二轮复习-专题检测三角函数的图象与性质.doc

2021届高考数学二轮复习 专题检测三角函数的图象与性质

2021届高考数学二轮复习 专题检测三角函数的图象与性质

年级：
姓名：

专题检测（六） 三角函数的图象与性质
A组——“6＋3＋3”考点落实练
一、选择题
1.(2019·合肥市第一次质检)已知cos α－sin α＝，则cos＝(　　)
A.－　　　　　　　　　 B.－
C. D.
解析：选C　由cos α－sin α＝，得1－sin 2α＝，所以sin 2α＝，所以cos＝sin 2α＝，故选C.
2.(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＋1，则(　　)
A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
解析：选B　f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＋1＝sin 2x＋cos 2x＋2＝2sin＋2，则f(x)的最小正周期为＝π，最大值为2＋2＝4.故选B.
3.(2019·四川攀枝花模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，现将此图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为(　　)

A.g(x)＝2sin 2x
B.g(x)＝2sin
C.g(x)＝2sin
D.g(x)＝2sin
解析：选D　根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象可得A＝2，·＝＋，∴ω＝2.
再根据五点法作图可得2×＋φ＝，∴φ＝－，
∴函数f(x)＝2sin＝2sin 2.
把f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)＝2sin 2＝2sin的图象，故选D.
4.(2019·昆明市质量检测)将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[－m，m]上单调递增，则m的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝sin＝cos，由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以当k＝0时函数的一个单调递增区间是，所以m的最大值为.故选A.
5.(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A.①②④ B.②④
C.①④ D.①③
解析：选C　①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，①正确.
②中，当x∈时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，函数单调递减，②错误.
③中，当x＝0时，f(x)＝0，
当x∈(0，π]时，f(x)＝2sin x，令f(x)＝0，得x＝π.
又∵f(x)是偶函数，
∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错误.
④中，∵sin |x|≤|sin x|，∴f(x)≤2|sin x|≤2，
当x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)时，
f(x)能取得最大值2，故④正确.
综上，①④正确.
故选C.
6.(2019·蓉城名校第一次联考)已知函数f(x)＝Asin(2x＋θ)的部分图象如图所示，f(a)＝f(b)＝0，f(a＋b)＝，则(　　)
A.f(x)在上是减函数
B.f(x)在上是增函数
C.f(x)在上是减函数
D.f(x)在上是增函数
解析：选B　由题图可知A＝2，则f(x)＝2sin(2x＋θ).
因为f(a)＝f(b)＝0，所以f＝2，
则sin(a＋b＋θ)＝1，a＋b＋θ＝＋2kπ，k∈Z.
由f(a＋b)＝得sin[2(a＋b)＋θ]＝，
2(a＋b)＋θ＝＋2kπ，k∈Z，或2(a＋b)＋θ＝＋2kπ，k∈Z，
所以θ＝＋2kπ或θ＝＋2kπ，k∈Z，又|θ|＜，所以θ＝，
f(x)＝2sin.当x∈时，2x＋∈，
所以f(x)在上是增函数.当x∈时，2x＋∈(π，2π)，
所以f(x)在上先减后增.故选B.
二、填空题
7.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________.
解析：∵ f(x)＝sin－3cos x
＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1，1]，
∴ f(x)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1，1]，且开口向下，∴ 当t＝1时，f(x)有最小值－4.
答案：－4
8.(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝，则cos的值是________.
解析：由三角函数的定义知cos α＝a，sin α＝b，∴cos α＋sin α＝a＋b＝，∴(cos α＋sin α)2＝1＋sin 2α＝，
∴sin 2α＝－1＝，∴cos＝－sin 2α＝－.
答案：－
9.已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2，4]上单调，且f(2)＝1，f(4)＝－1，则ω＝________，f(x)在区间上的值域是________.
解析：由题意知f(x)的最小正周期T＝4，∴ω＝，
∴f(x)＝sin.又f(2)＝sin(π＋φ)＝1，
∴π＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<π，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.
由x∈，得x－∈，
∴sin∈，
即f(x)在区间上的值域为.
答案：　
三、解答题
10.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)说明函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin 2x－cos 2x的图象经过怎样的平移变换得到.
解：(1)由题图可知，A＝2，T＝4＝π，
∴＝π，ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，∵f＝0，
∴sin＝0，∴φ＋＝kπ，k∈Z，
即φ＝－＋kπ，k∈Z.
∵|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)y＝sin 2x－cos 2x
＝2sin
＝2sin，
故将函数y＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移个单位长度就得到函数y＝f(x)的图象.
11.已知m＝，n＝(cos x，1).
(1)若m∥n，求tan x的值；
(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间.
解：(1)由m∥n得，sin－cos x＝0，展开变形可得，sin x＝cos x，即tan x＝.
(2)f(x)＝m·n＝sincos x＋1
＝sin xcos x－cos2x＋1
＝sin 2x－＋1
＝＋
＝sin＋，
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
又x∈[0，π]，所以当x∈[0，π]时，f(x)的单调递增区间为和.
12.已知函数f(x)＝cos x(2sin x＋cos x)－sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若当x∈时，不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围.
解：(1)f(x)＝2sin xcos x＋cos2x－sin2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝2
＝2sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝π.
(2)由题意可知，不等式f(x)≥m有解，
即m≤f(x)max，
因为x∈，所以2x＋∈，
故当2x＋＝，即x＝时f(x)取得最大值，
且最大值为f＝2.
从而可得m≤2.
所以实数m的取值范围为(－∞，2].
B组——大题专攻强化练

1.已知函数f(x)＝sin24x＋sin 4xcos 4x.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最值.
解：(1)f(x)＝sin24x＋sin 4xcos 4x
＝×＋sin 8x
＝sin 8x－cos 8x＋
＝sin＋.
令8x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
(2)由(1)得f(x)＝sin＋.
因为x∈，所以∈.故sin∈.

所以－1＋≤sin＋≤，
所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1＋.
2.已知向量m＝(2sin ωx，sin ωx)，n＝(cos ωx，－2sin ωx)(ω>0)，函数f(x)＝m·n＋，直线x＝x1，x＝x2是函数y＝f(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
解：(1)因为向量m＝(2sin ωx，sin ωx)，n＝(cos ωx，－2sin ωx)(ω>0)，所以函数f(x)＝m·n＋＝2sin ωxcos ωx＋sin ωx(－2sin ωx)＋＝sin 2ωx－2sin2ωx＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin.
因为直线x＝x1，x＝x2是函数y＝f(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为，所以函数f(x)的最小正周期为×2＝π，即＝π，得ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
3.已知函数f(x)＝sin 2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1(0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心.

(1)求f(x)的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程；
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象.
解：(1)f(x)＝sin 2ωx＋(cos2ωx－sin2ωx)·(cos2ωx＋sin2ωx)＋1
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1
＝2sin＋1.
∵点是函数f(x)图象的一个对称中心，
∴－＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝－3k＋，k∈Z.
∵0<ω<1，∴k＝0，ω＝，∴f(x)＝2sin＋1.
由x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，
令k＝0，得距y轴最近的一条对称轴方程为x＝.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋1，当x∈[－π，π]时，列表如下：
x＋
－
－
0

π

x
－π
－
－

π
f(x)
0
－1
1
3
1
0

则函数f(x)在区间[－π，π]上的图象如图所示.

4.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的相邻两对称轴之间的距离为，且在x＝时取得最大值1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈时，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3，求x1＋x2＋x3的取值范围.
解：(1)由题意，T＝2×＝π，故ω＝＝2，
所以sin＝sin＝1，
所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
所以φ＝2kπ＋，k∈Z.
因为0≤φ≤，所以φ＝，
所以f(x)＝sin.
(2)画出该函数的图象如图，当≤a<1时，方程f(x)＝a恰好有三个根，且点(x1，a)和(x2，a)关于直线x＝对称，点(x2，a)和(x3，a)关于直线x＝对称，所以x1＋x2＝，π≤x3<，所以≤x1＋x2＋x3<，
故x1＋x2＋x3的取值范围为.