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2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第二讲 两条直线的位置关系学案 新人教版

2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第二讲 两条直线的位置关系学案 新人教版

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第二讲　两条直线的位置关系

知识梳理·双基自测

知识点一　两条直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况．
(1)两条直线平行
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2．
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，

l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)两条直线垂直
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔__A1A2＋B1B2＝0__．
知识点二　两条直线的交点
直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组的解．
相交⇔方程组有__唯一解__；
平行⇔方程组__无解__；
重合⇔方程组有__无数个解__．
知识点三　三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝．
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝．

1．求解距离问题的规律
运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式．
2．对称问题的求解规律
(1)中心对称：转化为中点问题处理．
(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P(a，b)关于直线x＋y＋m＝0对称的点坐标为(－b－m，－a－m)，点P(a，b)关于直线x－y＋m＝0对称的点坐标为(b－m，a＋m)．

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．(　×　)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1．(　×　)
(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0．(　√　)
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为．(　×　)
(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　√　)
题组二　走进教材
2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　A　)
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
3．(必修2P110B组T2)已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　C　)
A． B．2－
C．－1 D．＋1
[解析]　由题意得＝1．
解得a＝－1＋或a＝－1－．
∵a＞0，∴a＝－1＋．
题组三　走向高考
4．(2020·高考全国Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为　B　)
A．1 B．
C． D．2
[解析]　解法一：由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1,0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)距离最大，即为|AP|＝，故选B．
解法二：因为点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离d＝＝＝；∵要求距离的最大值，故需k＞0；可得d＝≤，当且仅当k＝1时取等号，故选B．
5．(2018·全国)坐标原点关于直线x－y－6＝0的对称点的坐标为__(6，－6)__．
[解析]　设坐标原点关于直线x－y－6＝0的对称点的坐标为(a，b)，则，解得a＝6，b＝－6，∴坐标原点关于直线x－y－6＝0的对称点的坐标为(6，－6)．

考点突破·互动探究
考点一　两条直线平行、垂直的关系——自主练透
例1　(1)(2021·高安期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是(　A　)
A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0
(2)“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的(　A　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)(2021·青岛调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝(　C　)
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
(4)(多选题)等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2)，一条直角边所在直线的方程为y＝2x，则另外两边所在直线的方程为(　CD　)
A．3x＋y－14＝0 B．x＋2y－2＝0
C．x－3y＋2＝0 D．x＋2y－14＝0
[解析]　(1)因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为，直线3x－2y＋5＝0的斜率为，所以所求直线l的方程为y＝，化为一般式，得6x－4y－3＝0．
(2)由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴m＝3或m＝－2，∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件．
(3)由题意知解得m＝2或－3．故选C．
(4)设斜边所在直线的斜率为k，由题意知tan ＝＝1，∴k＝，
∴斜边所在直线方程为y－2＝(x－4)，
即x－3y＋2＝0，
由可知A，
∴A关于M的对称点B，

∴另一条直角边的方程为y－＝－，
即x＋2y－14＝0，故选C、D．

名师点拨
(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
〔变式训练1〕
(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f(x)＝2sin x在x＝处的切线与直线ax＋y－1＝0垂直，则a＝__1__．
(2)(2012·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行的(　A　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　(1)由题得f′(x)＝2cos x，∴k＝f′＝1．所以1×(－a)＝－1，∴a＝1．
(2)l1∥l2⇔a2＋a－2＝0⇔a＝1或－2，∴a＝1是l1∥l2的充分不必要条件．故选A．
考点二　两直线的交点、距离问题——师生共研
例2　(1)两条垂直直线l1：2x＋y＋1＝0与l2：ax＋4y－6＝0的交点到原点的距离为____．
(2)已知点P(2，－1)．
①求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
②求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
③是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
(3)(2020·上海)已知直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，则l1与l2的距离为____．
[解析]　(1)kl1＝－2，kl2＝，由l1⊥l2知－2×＝－1，∴a＝－2，∴l2：x－2y＋3＝0，由得交点A(－1，1)，∴|AO|＝．
(2)①过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2．
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0．
由已知得＝2，解得k＝．
此时l的方程为3x－4y－10＝0．
综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0．

②作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．
由l⊥OP，得klkOP＝－1，
所以kl＝－＝2．
由直线方程的点斜式，得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0．
所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝．
③由②可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．
(3)直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，
当l1∥l2时，a2－1＝0，解得a＝±1；
当a＝1时l1与l2重合，不满足题意；
当a＝－1时l1∥l2，
此时l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0；
则l1与l2的距离为d＝＝．

名师点拨
距离的求法
(1)点到直线的距离：
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
(2)两平行直线间的距离：
①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
②利用两平行线间的距离公式．
提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x、y的系数分别相等．
〔变式训练2〕
(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l1：3x－y－1＝0与直线l2：x＋2y－5＝0的交点为A，则A到直线l：x＋by＋2＋b＝0的距离的最大值为(　C　)
A．4 B．
C．3 D．
(2)(多选题)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0距离相等，则m的值可以为(　AC　)
A．－6 B．－
C． D．1
(3)(2021·绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　(1)解法一：显然l1与l2的交点A(1,2)，又直线l过点B(－2，－1)，∴所求最大距离为|AB|＝3，故选C．
解法二：显然l1与l2的交点为A(1,2)，则A到直线l的距离d＝＝3＝3≤3(当且仅当b＝1时取等号)，故选C．
(2)直线mx＋y＋3＝0与直线AB平行或过AB中点，∴－m＝＝－，即m＝；AB中点(1,3)，∴m＋3＋3＝0即m＝－6，故选A、C．
(3)因为＝≠，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为．
考点三　对称问题——多维探究
角度1　线关于点的对称
例3　(2021·河北五校联考)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为(　D　)
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
[解析]　由ax＋y＋3a－1＝0，可得y－1＝－a(x＋3)，所以M(－3,1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D．
另解：在直线2x＋3y－6＝0上取点A(0,2)、B(3,0)，则A、B关于M的对称点分别为A′(－6,0)，B′(－9,2)，又kA′B′＝＝－，故所求直线方程为y＝－(x＋6)，即2x＋3y＋12＝0．故选D．
角度2　点关于线的对称
例4　(2021·长沙一模)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为__6x－y－6＝0__．
[解析]　设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以解得a＝1，b＝0．又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0．
(代入法)当x＝－3时，由x－y＋3＝0得y＝0，
当y＝4时，由x－y＋3＝0得x＝1．
∴M(－3,4)关于直线l的对称点为M′(1,0)．
又kNM′＝＝6，
∴所求直线方程为y＝6(x－1)，即6x－y－6＝0．
[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x－6y＋27＝0__．
[解析]　N(2,6)关于直线l的对称点N′(3,5)，又kMN′＝＝，∴所求直线方程为y－4＝(x＋3)，即x－6y＋27＝0．
角度3　线关于线的对称
例5　(2021·合肥模拟)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0．若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是(　B　)
A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
[解析]　解法一：因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则解得即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2的方程为x－2y－1＝0．
解法二：在l1上取两点A(0，－2)，B(1,0)，则A、B关于l的对称点分别为A′(－1，－1)，B′(1,0)，∴kA′B′＝＝．∴l2的方程为y－0＝(x－1)，即x－2y－1＝0．故选B．
解法三：设P(x，y)是直线l2上任一点，则P关于直线l的对称点为P′(y＋1，x－1)，又P′∈l1，∴2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即直线l2的方程为x－2y－1＝0．故选B．

名师点拨
对称问题的解法
以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：
(1)中心对称
①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y＝x的对称问题采用代入法，如(1,3)关于y＝x＋1的对称点为(3－1，1＋1)，即(2,2)．
〔变式训练3〕
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)(角度2)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)(角度3)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)(角度1)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
[解析]　(1)设A′(x，y)，由已知条件得
解得
∴A′．
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则
得M′．
设直线m与直线l的交点为N，则
由得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0．
(3)设P(x，y)在l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，
∵点P′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0．

名师讲坛·素养提升
巧用直线系求直线方程
例6　(1)求证：动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0(其中m∈R)恒过定点，并求出定点坐标；
(2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
[解析]　(1)证明：解法一：令m＝0，则直线方程为
3x＋y＋1＝0．
再令m＝1时，直线方程为6x＋y＋4＝0．
①和②联立方程组得
将点A(－1,2)的坐标代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0中，
(m2＋2m＋3)×(－1)＋(1＋m－m2)×2＋3m2＋1＝(3－1－2)m2＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，
故动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0恒过定点A．
解法二：将动直线方程按m降幂排列整理，得m2(x－y＋3)＋m(2x＋y)＋3x＋y＋1＝0，①
不论m为何实数，①式恒为零，
∴有解得
故动直线恒过点A(－1,2)．
(2)解法一：解方程组得P(0,2)．
因为l3的斜率为，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－，
由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，
即4x＋3y－6＝0．
解法二：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，
将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m＝－6，
故所求直线方程为4x＋3y－6＝0．
解法三：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0．
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11．
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0．
[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”，则直线l的方程为__3x－4y＋8＝0__．

名师点拨
1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：
(1)将直线方程写成点斜式y－y0＝f(λ)(x－x0)，从而确定定点(x0，y0)．
(2)将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点．
(3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标．
2．直线系的主要应用
(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中A1B2－A2B1≠0，待定系数λ∈R．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2．
(2)过定点(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(k为参数)及x＝x0．
(3)平行直线系方程：与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m为参数且m≠b)；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C，λ是参数)．
(4)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)．
如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解．
〔变式训练4〕
(1)(2021·启东模拟)不论m为何值时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过定点(　D　)
A． B．(－2,0)
C．(2,3) D．(9，－4)
(2)与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程是__5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0__．
[解析]　(1)解法一：由(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5，得(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，由得定点坐标为(9，－4)，故选D．
解法二：令m＝1，则y＝－4；令m＝，则－x＝－，即x＝9，∴直线过定点(9，－4)，故选D．
解法三：将直线方程化为(2m－1)(y＋a)＝(1－m)(x＋b)，则，即，∴y＋4＝(x－9)，故直线过点(9，－4)，故选D．
(2)设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0，则＝2，解得c＝32或－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．