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2022版高考数学大一轮复习 第7章 不等式 第2讲 二元一次不等式与简单的线性规划问题备考试题

2022版高考数学大一轮复习 第7章 不等式 第2讲 二元一次不等式与简单的线性规划问题备考试题

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第七章　不等式
第二讲　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
练好题·考点自测
1.给出下列命题,其中真命题的个数为(　　)
①原点能判断二元一次不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域在直线Ax+By+C=0的哪一侧;
②不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方;
③点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0同侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.[2020浙江,3,4分]若实数x,y满足约束条件x-3y+1≤0,x+y-3≥0,则z=x+2y的取值范围是(　　)
A.(-∞,4] B.[4,+∞) C.[5,+∞) D.(-∞,+∞)
3.[福建高考,5分][文]变量x,y满足约束条件x+y≥0,x-2y+2≥0,mx-y≤0.
若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.[2021陕西省部分学校摸底检测]若x,y满足约束条件x+y-3≤0,2x-y≥0,y≥0,则z=4x-3y的最小值为　　　　. 
5.[2020全国卷Ⅲ,13,5分][文]若x,y满足约束条件x+y≥0,2x-y≥0,x≤1,则z=3x+2y的最大值为　　　　. 
6.[新课标全国Ⅰ,5分]若x,y满足约束条件x-1≥0,x-y≤0,x+y-4≤0,则yx的最大值为　　　　. 
拓展变式
1.不等式组2x+y-6≤0,x+y-3≥0,y≤2表示的平面区域的面积为(　　)
A.4 B.1 C.5 D.无穷大
2.[2019天津,2,5分]设变量x,y满足约束条件x+y-2≤0,x-y+2≥0,x≥-1,y≥-1,则目标函数z=-4x+y的最大值为(　　)
A.2 B.3 C.5 D.6
3.设x,y满足约束条件x-y+5≥0,x+y≥0,x≤3,则z=(x+1)2+y2的最大值为(　　)
A.80 B.45 C.25 D.172
4.[2021四省八校联考]已知实数x,y满足x≥0,y≥0,y≤-2x+a,若z=3x-y的最大值为92,则a=　　　　. 
5.[2016全国卷Ⅰ,16,5分][文]某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为　　　　元.

答 案
第七章　不等式
第二讲　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1.B　①当原点在直线Ax+By+C=0上时,无法判断Ax+By+C>0所表示的平面区域在直线Ax+By+C=0的哪一侧,故①错误;②x-y+1>0表示的平面区域是直线x-y+1=0下方的区域,故②错误;③将直线同一侧的所有点的坐标代入Ax+By+C,所得到的实数的符号相同,将异侧的所有点的坐标代入Ax+By+C,所得到的实数的符号相反,故③正确.选B.
2.B　画出可行域如图D 7-2-1中阴影部分所示,作出直线x+2y=0,平移该直线,易知当直线z=x+2y经过点A(2,1)时,z取得最小值,zmin=2+2×1=4,故z=x+2y的取值范围是[4,+∞).

图D 7-2-1

3.C　画出x+y≥0,x-2y+2≥0表示的区域,如图D 7-2-2阴影部分所示,mx-y=0过定点(0,0),当m≤12时,z=2x-y无最大值,当m>12时,x+y≥0,x-2y+2≥0,mx-y≤0表示区域为图中△OAB及其内部,则z=2x-y过点A时取得最大值2,由mx-y=0,x-2y+2=0,得A(22m-1,2m2m-1),则2×22m-1-2m2m-1=2,解得m=1,故选C.

图D 7-2-2
4.-2　作出可行域如图D 7-2-3中阴影部分所示,作出直线4x-3y=0,并平移,当直线经过点B(1,2)时,z=4x-3y取得最小值,故zmin=-2.

图D 7-2-3
5.7　根据约束条件作出可行域,如图D 7-2-4中阴影部分所示.结合图形可知,当直线y=-32x+z2过点A(1,2)时,z取得最大值,且zmax=3×1+2×2=7.

图D 7-2-4
6.3　作出可行域如图D 7-2-5中阴影部分所示,设z=yx,则z表示过原点的直线的斜率,易知z在点A(1,3)处取得最大值,最大值为3.

图D 7-2-5

1.B　不等式组2x+y-6≤0,x+y-3≥0,y≤2表示的平面区域如图D 7-2-6中阴影部分(包含边界)所示,△ABC的面积即为所求.由图求得点A,B,C的坐标分别为A(1,2),B(2,2),C(3,0),则△ABC的面积为S=12×(2-1)×2=1.故选B.

图D 7-2-6
2.C　画出可行域,如图D 7-2-7中阴影部分所示,
作出直线-4x+y=0并平移,可知当直线z=-4x+y过点A时,z取得最大值.由x=-1,x-y+2=0可得x=-1,y=1,所以点A的坐标为(-1,1),故zmax=-4×(-1)+1=5.故选C.

图D 7-2-7
3.A　作出不等式组x-y+5≥0,x+y≥0,x≤3表示的平面区域,如图D 7-2-8中阴影部分所示.(x+1)2+y2表示可行域内的点(x,y)到点P(-1,0)的距离的平方,由图可知可行域内的点A到点P(-1,0)的距离最大.解方程组x=3,x-y+5=0,得x=3,y=8,即点A的坐标为(3,8),代入z=(x+1)2+y2,得zmax=(3+1)2+82=80.故选A.

4.3　画出不等式组表示的平面区域如图D 7-2-9中阴影部分所示,作出直线3x-y=0并平移,由图知,当平
移后的直线经过点A(a2,0)时,z=3x-y取得最大值,即zmax=3×a2-0=92,解得a=3.
5.216 000　由题意,设生产x件产品A,生产y件产品B,利润z=2 100x+900y,
作出不等式组1.5x+0.5y≤150,x+0.3y≤90,5x+3y≤600,x∈N,y∈N表示的平面区域,如图D 7-2-10中阴影部分所示,由x∈N,y∈N,可知取得最大值时的最优解为(60,100),所以zmax=2 100×60+900×100=216 000(元).

图D 7-2-10