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人教版高中数学必修一知识点和重难点
人教版高中数学必修一知识点和重难点

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人教版高中数学必修一
—-—-各章节知识点与重难点
第一章 集合与函数概念
1。1 集合
1。1。1集合的含义与表示
【知识要点】
1、集合的含义
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.
2、集合的中元素的三个特性
（1)元素的确定性； (2）元素的互异性； (3）元素的无序性
2、“属于”的概念
我们通常用大写的拉丁字母A，B,C, ……表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素
如:如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A,如果a不属于集合A 记作 aA
3、常用数集及其记法
非负整数集(即自然数集）记作:N；正整数集记作：N*或 N+ ；整数集记作:Z；有理数集记作：Q；实数集记作:R
4、集合的表示法
(1）列举法:把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（2)描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。
①语言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝
②数学式子描述法：例：不等式x—3>2的解集是{x∈R｜ x—3>2}或｛x｜ x-3〉2｝
（3）图示法（Venn图）
1.1。2 集合间的基本关系
【知识要点】
1、“包含”关系-—子集
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集,记作AB
2、“相等”关系
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B，即：A=B
3、真子集
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）
4、空集
不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
1.1.3 集合的基本运算
【知识要点】
1、交集的定义
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集．记作A∩B（读作“A交B”），即A∩B=｛x｜ x∈A，且x∈B｝．
2、并集的定义
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B（读作“A并B”),即A∪B=｛x ｜ x∈A，或x∈B｝．
3、交集与并集的性质
A∩A = A,A∩φ= φ， A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A ， A∪B = B∪A。
4、全集与补集
（1)全集
如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
(2）补集
设U是一个集合，A是U的一个子集（即AU)，由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫做U中子集A的补集(或余集）.记作： CUA ，即 CSA =｛x ｜ xU且 xA}
（3)性质
CU（C UA)=A，（C UA）∩A=Φ,（C UA）∪A=U；
(C UA）∩（C UB）=C U（A∪B)，(C UA)∪（C UB)=C U(A∩B)。
1。2 函数及其表示
1.2.1函数的概念
【知识要点】
1、函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x),x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f（x)｜ x∈A }叫做函数的值域．
【注意】
（1）如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;
（2)函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
【定义域补充】
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是
（1）分式的分母不等于零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零；
（3）对数式的真数必须大于零;
（4)指数、对数式的底数必须大于零且不等于1。
（5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合。
（6）指数为零底不可以等于零
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
（注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)
2、构成函数的三要素
定义域、对应关系和值域
【注意】
(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)。
（2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
3、相同函数的判断方法
(1）定义域一致;
（2）表达式相同 (两点必须同时具备）
【值域补充】
(1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
4、区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间;
（3）区间的数轴表示．
1.2。2函数的表示法
【知识要点】
1、常用的函数表示法及各自的优点
（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。
(2）函数的表示法
解析法：必须注明函数的定义域;
图象法:描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；
列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征．
【注意】
解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值
2、分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集．
3、复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g（x）,(x∈A),则 y=f［g（x)]=F（x），(x∈A) 称为f是g的复合函数。
4、函数图象知识归纳
（1）定义
在平面直角坐标系中，以函数 y=f（x） ， (x∈A）中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P（x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x)，（x ∈A）的图象．
C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x),反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y），均在C上 。 即记为C={ P（x,y) | y= f(x） , x∈A ｝
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线)，也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.
(2）画法
A、描点法

根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以（x,y）为坐标在坐标系内描出相应的点P（x， y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来。
B、图象变换法
常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换
(Ⅰ）对称变换
①将y= f（x）在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5
②y= f(x）和y= f（—x)的图象关于y轴对称。如
③y= f（x)和y= -f（x)的图象关于x轴对称。如
（Ⅱ）平移变换
由f（x）得到f(xa) 左加右减；
由f(x)得到f（x）a 上加下减
（3）作用
A、直观的看出函数的性质
B、利用数形结合的方法分析解题的思路；
C、提高解题的速度；发现解题中的错误。
5、映射
定义：一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射.记作“f:AB”
给定一个集合A到B的映射，如果a∈A，b∈B。且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
【说明】
函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应
(1）集合A、B及对应法则f是确定的；
（2)对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；
（3）对于映射f：A→B来说,则应满足：
(Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;
(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
6、函数的解析式
（1)函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域。
（2)求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等
A、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；
B、已知复合函数f[g(x)］的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时，也可用凑配法；
C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
【重点】函数的三种表示法,分段函数的概念,映射的概念
【难点】根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象，映射的概念
1.3函数的基本性质
1。3.1函数单调性与最大（小）值
【知识要点】
1、函数的单调性定义
设函数y=f(x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1变量的值x1，x2,当x1A） 定义法
①任取x1，x2∈D，且x1〈x2；
②作差f（x1)－f(x2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f（x1)－f(x2）的正负）；
⑤下结论(指出函数f(x）在给定的区间D上的单调性）．
（B）图象法(从图象上看升降）
（C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x）]的单调性与构成它的函数u=g（x）,y=f(u）的单调性密切相关,其规律如下：同增异减
【注意】
函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
4、判断函数的单调性常用的结论
①函数与的单调性相反;
②当函数恒为正或恒有负时,与函数的单调性相反;
③函数与函数(C为常数）的单调性相同；
④当C > 0(C为常数）时，与的单调性相同;
当C 〈 0（C为常数)时，与的单调性相反；
⑤函数、都是增(减）函数,则仍是增（减)函数;
⑥若且与都是增（减）函数,则也是增（减）函数；
若且与都是增(减）函数,则也是减（增)函数;
⑦设，若在定义域上是增函数,则、、 都是增函数,而是减函数.
5、函数的最大（小）值定义
（ⅰ）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x）≤M;
（2)存在x0∈I，使得f（x0） = M
那么，称M是函数y=f（x）的最大值．

（ⅱ）一般地,设函数y=f(x）的定义域为I，如果存在实数M满足
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥ M；
（2）存在x0∈I,使得f(x0） = M
那么,称M是函数y=f(x)的最大值。
【注意】
函数最大(小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I,使得f(x0） = M;
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小)的，即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M（f（x)≥M）．
6、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
利用二次函数的性质(配方法）求函数的最大(小）值
利用图象求函数的最大（小)值
利用函数单调性的判断函数的最大(小）值
如果函数y=f（x)在区间[a，b］上单调递增，在区间[b，c］上单调递减则函数y=f(x）在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x）在区间［a，b]上单调递减,在区间［b，c］上单调递增则函数y=f（x)在x=b处有最小值f(b)；
1.3.2 函数的奇偶性
【知识要点】
1、偶函数定义
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(－x)=f(x），那么f（x)就叫做偶函数．
2、奇函数定义
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=—f（x),那么f（x)就叫做奇函数．
【注意】
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②函数可能没有奇偶性，也可能既是奇函数又是偶函数。
③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称)．
3、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称．
4、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;
②确定f(－x）与f(x)的关系；
③作出相应结论：若f(－x) = f（x) 或 f(－x)－f（x） = 0，则f(x）是偶函数；
若f(－x） =－f(x) 或 f(－x)＋f(x） = 0，则f(x）是奇函数．
5、函数奇偶性的性质
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。
②奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称。
③若为偶函数，则。
④若奇函数定义域中含有0，则必有.
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差)”。如设是定义域为R的任一函数， 则,。
⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）。
第二章 基本初等函数
2.1 指数函数
2。1.1指数与指数幂的运算
【知识要点】
1、根式的概念:
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作=0。
【注意】
(1）
(2)当 n是奇数时， ,当 n是偶数时,
2、分数指数幂
（1）正数的正分数指数幂的意义，规定：
（2)正数的正分数指数幂的意义：
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3、实数指数幂的运算性质
（1)
（2）
（3)
【注意】
在化简过程中，偶数不能轻易约分；如
2。1。2指数函数及其性质
【知识要点】
1、指数函数的概念
一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

2、指数函数的图象和性质

0〈a<1
a>1
图象

性质
定义域R ,值域(0,+∞）
（1）过定点（0，1),即x=0时，y=1
(2）在R上是减函数
(2）在R上是增函数
(3)当x〉0时,0〈y〈1；
当x〈0时,y>1
（3）当x〉0时，y>1;
当x〈0时，0〈y<1

图象特征
函数性质
共性
向x轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
函数图象都在x轴上方
函数的值域为R+
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都过定点（0,1）
过定点（0，1)
0限内的图象纵坐标都小于1
当x>0时,0〈y〈1；
在第二象限内的图象纵坐标都大于1
当x<0时,y〉1
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始减小极快，
到了某一值后减小速度较慢;
a〉1
自左向右看，图象逐渐上升
增函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
当x>0时,y>1；
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
当x〈0时,0〈y〈1
图象上升趋势是越来越陡
函数值开始增长较慢,
到了某一值后增长速度极快；
2.2 对数函数
2.2.1对数与对数运算
【知识要点】
1、对数的概念
一般地，如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作：
( a— 底数， N— 真数，— 对数式）
【注意】
（1）注意底数的限制，a〉0且a≠1；
（2）真数N〉0；
（3）注意对数的书写格式．
2、两个重要对数
（1）常用对数：以10为底的对数, ；
(2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , ．
3、对数式与指数式的互化

对数式 指数式
对数底数← a → 幂底数
对数← x → 指数
真数← N → 幂
【结论】
(1）负数和零没有对数
（2）logaa=1, loga1=0,特别地，lg10=1, lg1=0 ， lne=1， ln1=0
（3)对数恒等式:
4、如果a > 0，a ¹ 1，M > 0，N > 0 有
（1）
两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和
(1）
两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差
（3）
一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍
【说明】
(1)简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
（2）有时可逆向运用公式
（3)真数的取值必须是(0,＋∞)
（4)特别注意:

5、换底公式

利用换底公式推导下面的结论
① ②③
2。2。2 对数函数及其性质
【知识要点】
1、 对数函数的概念
函数 （a〉0，且a≠1） 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞)．
【注意】
（1）对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
(2）对数函数对底数的限制：a〉0，且a≠1
2、对数函数的图像与性质
对数函数（a>0,且a≠1）

0 ＜ a ＜ 1
a ＞ 1
图像

性质
定义域：（0,＋∞） 值域：R
过点（1 ,0)， 即当x ＝1时，y＝0
在(0,+∞)上是减函数
在(0，+∞)上是增函数
当x〉1时,y<0
当x=1时，y=0
当0〈x〈1时，y>0
当x〉1时，y>0
当x=1时，y=0
当0〈x<1时,y〈0
【重要结论】
在logab中，当a ,b 同在(0,1） 或（1,+∞)内时,有logab〉0；
当a，b不同在（0，1） 内,或不同在(1，+∞) 内时，有logab〈0.
【口诀】底真同大于0（底真不同小于0）。
（其中，底指底数,真指真数，大于0指logab的值） 3、如图,底数 a对函数 的影响。
规律：底大枝头低, 头低尾巴翘
4考点
Ⅰ、logab, 当a,b在1的同侧时， logab 〉0；当a,b在1的异侧时, logab 〈0
Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小,同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1（=logaa)进行传递。
Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性。
Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa ，用y=1去截图象得到对应的底数。
Ⅴ、y=ax(a〉0且a ≠1） 与y=logax(a〉0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x对称。

5 比较两个幂的形式的数大小的方法
（1）对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较，可以利用比商法来判断。
(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断。常用1和0。
6 比较大小的方法
（1)利用函数单调性（同底数）；（2）利用中间值（如:0,1。）;（3）变形后比较；（4）作差比较
2。3幂函数
【知识要点】
1、幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
2、幂函数性质归纳
（1）所有的幂函数在(0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）α〉0 时，幂函数的图象通过原点,并且在[0，+ ∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸;当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
（3）α〈0 时，幂函数的图象在(0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
第三章 函数的应用
3。1函数与方程
3。1方程的根与函数的零点
【知识要点】
1、函数零点的概念
对于函数y=f（x），使f（x）=0 的实数x叫做函数的零点.(实质上是函数y=f（x）与x轴交点的横坐标)
2、函数零点的意义
方程f（x)=0 有实数根⇔函数y=f(x）的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x）有零点.
3、零点定理
函数y=f（x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b）<0，那么函数yf（x)在区间（a,b)至少有一个零点c，使得f（ c)=0,此时c也是方程 f(x）=0 的根。
4、函数零点的求法
求函数y=f（x）的零点：
(1)（代数法）求方程f（x）=0 的实数根；
(2)（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f（x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
5、二次函数的零点
二次函数f（x）=ax2+bx+c(a≠0)。
（1)△＞0,方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝0,方程f（x)=0有两相等实根（二重根)，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
(3）△＜0，方程f(x）=0无实根,二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
3。1.2用二分法求方程的近似解
【知识要点】
1、概念
对于在区间［a，b]上连续不断且f（a）f（b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2、用二分法求方程近似解的步骤
⑴确定区间［a，b],验证f（a)f(b）<0，给定精确度ε;
⑵求区间（a,b）的中点c;
⑶计算f（c）,
①若f（c)=0，则c就是函数的零点；
②若f(a）f(c）<0,则令b=c（此时零点x0∈(a，c)）
③若f(c）f（b)<0,则令a=c（此时零点x0∈（c，b))
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε，则得到零点近似值为a（或b);否则重复⑵～⑷
3。2几类不同增长的函数模型
【知识要点】
1、评价模型
给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况
2、几个增长函数模型
一次函数：y=ax+b(a〉0)
指数函数：y=ax(a>1) 指数型函数: y=kax（k>0,a>1）
幂函数： y=xn（ n∊N*） 对数函数:y=logax(a>1)
二次函数：y=ax2+bx+c（a>0）
增长快慢：V（ax)〉V（xn)>V(logax）
解不等式 （1) log2x< 2x < x2 （2） log2x< x2 < 2x
3、分段函数的应用
注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间.
4、二次函数模型
y=ax2+bx+c（a≠0) 先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代进求最值。
5、一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布
两个根都在（m,n ）内
两个有且仅有一个在（m,n）内
x1∈（m,n) x2∈(p，q）

f(m）f（n）〈0

两个根都小于K
两个根都大于K
一个根小于K，一个根大于K

f（k）<0

【重点】将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含