2022届高考数学一轮复习-课后限时集训等比数列及其前n项和北师大版.doc

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训等比数列及其前n项和北师大版

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训等比数列及其前n项和北师大版

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课后限时集训(三十九)等比数列及其前n项和
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一、选择题
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　)
A．－24　　 　 B．0　 　　
C．12　　 　 D．24
A　[由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或
x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24，选A.]
2．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是
(　　)
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或
C　[当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝－.综上，q的值是1或－，故选C.]
3．等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
B　[当n＝1时，a1＝S1＝3＋r，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1＝·9n－1，
所以3＋r＝，
即r＝－，故选B.]
4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为(　　)
A．6里 B．12里
C．24里 D．48里
B　[记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比为的等比数列，由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，∴a5＝192×＝12(里)．故选B.]
5．(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋
ak＋10＝215－25，则k＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
C　[令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an，即＝a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝ak(a1＋a2＋…＋a10)＝2k×＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4，故选C.]
6．(2020·宝山区一模)已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　)
A．若a1＋a2＞0，则a1＋a3＞0
B．若a1＋a3＞0，则a1＋a2＞0
C．若a1＞0，则S2 021＞0
D．若a1＞0，则S2 020＞0
C　[A错误，如数列：－1,2，－4，….
BD错误，如数列1，－2,4，….
C正确，当q＜0时，显然S2 021＞0；当0＜q＜1时，及q＞1时“1－q”与“1－q2 021”同号，故S2 021＞0；当q＝1时，显然S2 021＞0，故C正确．]
二、填空题
7．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值________．
　[由题意得a1＋a2＝5，b＝4，又b2与第一项的符号相同，所以b2＝2.所以＝.]
8．在14与之间插入n个数组成等比数列，若各项之和为，则此数列的项数为________．
5　[设此等比数列为{am}，公比为q，则该数列共有n＋2项．∵14≠，∴q≠1.由等比数列的前n项和公式，得＝，解得q＝－，
∴an＋2＝14×n＋2－1＝，即n＋1＝，解得n＝3，∴该数列共有5项．]
9．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝________.
30　[由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．
设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．
由(x－2)2＝2×(14－x)，
解得x＝6或x＝－4(舍去)．
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．
又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.]
三、解答题
10．(2020·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.
[解]　(1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.
由已知得解得a1＝1，q＝3.
所以{an}的通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)知log3an＝n－1.
故Sn＝.
由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)，即m2－5m－6＝0.
解得m＝－1(舍去)，m＝6.
11．设数列{an}中，a1＝1，a2＝，an＋2＝an＋1－an，令bn＝an＋1－an
(n∈N*)
(1)证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：∵an＋2＝an＋1－an，
∴an＋2－an＋1＝(an＋1－an)，而bn＝an＋1－an，
∴bn＋1＝bn，又b1＝a2－a1＝，
∴{bn}是首项为，公比为的等比数列．
(2)由(1)知bn＝×n－1＝n，
∴an－an－1＝n－1，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋＋2＋…＋n－1＝＝3－3·n.

1．已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝
an＋1，则数列{bn}的前n项和为(　　)
A．3n＋1 B．3n－1
C. D.
C　[∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，
∴a1(b2－b1)＝a2，即a2＝3a1，
又数列{an}为等比数列，
∴数列{an}的公比为q＝3，
∴bn＋1－bn＝＝3，
∴数列{bn}是首项为2，公差为3的等差数列，
∴数列{bn}的前n项和为Sn＝2n＋×3＝.故选C.]
2.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________．
　[由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为×9＝.]
3．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
[解]　(1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，
∴Sn＝2n－1，
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.
当n＝1时，a1＝1不适合上式．
∴an＝
(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，
∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.
∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.

1．(2020·宣城二模)将正整数排成如图所示：

试问2 020是表中第________行的第________个数．
11　997　[由题意得第n行有2n－1个数，20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＝＝1 023，
20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210＝＝2 047，
∴2 020是表中第11行的第997个数．]
2．[结构不良试题]设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知满足________，求公比q以及a＋a＋…＋a.
从①a2a5＝－32且a3＋a4＝－4，②a1＝1且S6＝9S3，③S2＝a3－1且S3＝a4－1这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答．
[解]　若选①，则有a2a5＝a3a4＝－32，
故有a3a4＝－32，a3＋a4＝－4，解得a3＝4，a4＝－8，或a3＝－8，a4＝4，即q＝－2或q＝－.
因为{a}是以a为首项，q2为公比的等比数列，
若q＝－2，a1＝1，此时a＋a＋…＋a＝；
或q＝－，a1＝－32，
此时a＋a＋…＋a＝.
若选②，＝8，即q3＝8，故q＝2.
因为{a}是以a为首项，q2为公比的等比数列，
所以a＋a＋…＋a＝.
若选③，S2＝a3－1(*)，S3＝a4－1(**)．
令(**)式减(*)式，得a3＝a4－a3，
即a4＝2a3，故q＝2.
则(*)式中，a1＋a2＝a3－1，
即a1＋2a1＝4a1－1，即a1＝1.
因为{a}是以a为首项，q2为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝.