2022版高考数学一轮复习-课后限时集训-25-同角三角函数的基本关系与诱导公式.doc

2022版高考数学一轮复习 课后限时集训 25 同角三角函数的基本关系与诱导公式

2022版高考数学一轮复习 课后限时集训 25 同角三角函数的基本关系与诱导公式

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课后限时集训(二十五)　同角三角函数的基本关系与诱导公式
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一、选择题
1．(多选)(2020·潍坊月考)下列化简正确的是(　　)
A．tan(π＋1)＝tan 1
B．＝cos α
C．＝tan α
D．＝1
AB　[由诱导公式可得tan(π＋1)＝tan 1，故A正确；
＝＝cos α，故B正确；
＝＝－tan α，故C不正确；
＝＝－1，故D不正确．
故选AB.]
2．cos＝，则sin等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
A　[sin＝sin
＝cos＝.]
3．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)
A．sin β＝ B．cos(π＋β)＝
C．tan β＝ D．tan β＝
AC　[∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝，若α＋β＝，则β＝－α.
A中，sin β＝sin＝cos α＝±，故A符合条件；
B中，cos(π＋β)＝－cos＝－sin α＝－，故B不符合条件；
C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故C符合条件；
D中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故D不符合条件．故选AC.]
4．若tan α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
D　[∵tan α＝，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝＝＝－，故选D.]
5．(2020·湖南雅礼中学模拟)若sin α＋cos α＝1(0＜α＜π)，则3sin α－cos α＝(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．3
D　[∵sin α＋cos α＝1，
∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1，
∴2sin αcos α＝0.
∵0＜α＜π，
∴cos α＝0，sin α＝1，
∴3sin α－cos α＝3，故选D.]
6．(2020·九江二模)已知＝2，则tan α＝(　　)
A．－ B．
C． D．2
A　[由＝2得sin α＝2＋2cos α，
两边平方得sin2α＝4＋8cos α＋4cos2α，
即1－cos2α＝4＋8cos α＋4cos2α，
整理得5cos2α＋8cos α＋3＝0
解得cos α＝－或cos α＝－1(舍去)，
∴sin α＝2－2×＝，
∴tan α＝＝－，故选A.]
二、填空题
7．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝________.
　[因为tan A＝＞0，所以A为锐角，
由tan A＝＝以及sin2A＋cos2A＝1，
可求得sin A＝.]
8．已知角α终边上一点P(－4,3)，则
的值为________．
－　[原式＝＝tan α，
根据三角函数的定义得tan α＝－.]
9．若f(x)＝sin＋1，且f(2 020)＝2，则f(2 021)＝________.
1　[由题意知，f(2 020)＝sin(1 010π＋α)＋1＝sin α＋1＝2，
∴sin α＝1，∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝0，
∴f(2 021)＝sin＋1＝sin＋1＝cos α＋1＝1.]
三、解答题
10．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin 2α.
[解]　由已知得sin α＝2cos α.
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝
＝＝.
11．已知α为第三象限角，
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos＝，求f(α)的值．
[解]　(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)因为cos＝，所以－sin α＝，
从而sin α＝－.
又α为第三象限角，所以cos α＝－＝－，所以f(α)＝－cos α＝.

1．已知sin θ＝，cos θ＝－，若θ是第二象限角，则tan θ的值为(　　)
A．－ B．2
C．－ D．－
C　[由sin2θ＋cos2θ＝1得2＋2＝1，
整理得a2－4a＝0，解得a＝0或a＝4.
又θ是第二象限角，∴a＝4.
∴sin θ＝，cos θ＝－，
∴tan θ＝＝－，故选C.]
2．若＋＝，则sin αcos α＝(　　)
A．－ B．
C．－或1 D．或－1
A　[由＋＝得sin α＋cos α＝sin αcos α.
两边平方得1＋2sin αcos α＝3sin2αcos2α，
解得sin αcos α＝－或sin αcos α＝1，
由题意知－1＜sin α＜1，－1＜cos α＜1，且sin α≠0，cos α≠0，
所以sin αcos α≠1，故选A.]
3．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cos θ，且θ∈(0,2π)．
(1)求＋的值；
(2)求m的值；
(3)求方程的两根及此时θ的值．
[解]　(1)由根与系数的关系可知

而＋＝＋
＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由①两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，将②代入，得m＝.
(3)当m＝时，原方程变为2x2－(1＋)x＋＝0，解得x1＝，x2＝，
则或
∵θ∈(0,2π)，∴θ＝或θ＝.

1.如图，角α和角β的终边垂直，且角α与单位圆的交点坐标为P，则sin β＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
B　[由任意角的三角函数的定义可知cos α＝，
所以sin β＝sin＝cos α＝，故选B.]
2．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
[解]　假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得

由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sin α＝±.
∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝，β＝满足条件．