导数高考小题答案版.doc

导数的简单应用（小题练）
A级——12＋4提速练
一、选择题
1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝3，则a＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D．3
解析：选D　∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6，
∵f′(－1)＝3，∴3a－6＝3，解得a＝3.故选D.
2．(2018·合肥模拟)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切，其中e为自然对数的底数，则实数a的值是(　　)
A．e B．2e
C．1 D．2
解析：选C　∵y＝aex＋x，∴y′＝aex＋1，设直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切的切点坐标为(m，n)，则y′|x＝m＝aem＋1＝2，得aem＝1，又n＝aem＋m＝2m＋1，∴m＝0，a＝1，故选C.
3．(2018·成都模拟)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A　如图，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，且在点x＝c附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，所以在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A.

4．(2018·重庆调研)若函数f(x)＝(x＋a)ex在(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－1,0) D．[－1，＋∞)
解析：选A　f′(x)＝ex(x＋a＋1)，由题意，知方程ex(x＋a＋1)＝0在(0，＋∞)上至少有一个实数根，即x＝－a－1＞0，解得a＜－1.
5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为(　　)
A．0 B．－5
C．－10 D．－37
解析：选D　由题意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)在[－2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，由条件知f(0)＝m＝3，∴f(2)＝－5，f(－2)＝－37，∴最小值为－37.
6．(2018·广州模拟)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为(　　)
A．(0,0) B．(1，－1)
C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1)
解析：选D　由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率为f′(x0)＝3x＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且解得a＝±2，x0＝－.所以当时，点P的坐标为(1，－1)；当时，点P的坐标为(－1,1)，故选D.
7．(2018·昆明检测)若函数f(x)＝e2x＋ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－2，＋∞)
解析：选C　∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f′(x)＝2e2x＋a，∴f′(x)＝2e2x＋a≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≥－2e2x在(0，＋∞)上恒成立，又x∈(0，＋∞)时，－2e2x＜－2，∴a≥－2.
8．(2018·陕西模拟)设函数f(x)＝x3－12x＋b，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增
B．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减
C．若b＝－6，则函数f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝10
D．若b＝0，则函数f(x)的图象与直线y＝10只有一个公共点
解析：选C　对于选项A，B，根据函数f(x)＝x3－12x＋b，可得f′(x)＝3x2－12，令3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，故函数f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，所以选项A，B都不正确；对于选项C，当b＝－6时，f′(－2)＝0，f(－2)＝10，故函数f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝10，选项C正确；对于选项D，当b＝0时，f(x)的极大值为f(－2)＝16，极小值为f(2)＝－16，故直线y＝10与函数f(x)的图象有三个公共点，选项D错误．故选C.
9．已知定义在上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)cos x－1＝ln x－f(x)sin x，则下列不等式成立的是(　　)
A.ff
解析：选D　令g(x)＝，则g′(x)＝＝，由解得>，所以g>g，所以>，即f>f，B错，D正确．同理因为>>，所以g>g，所以>，即f>f，C错．因为>>，所以g>g，所以>，即f>f，A错．故选D.
10．已知函数f(x)(x∈R)为奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)＝ln x－m2x，当x∈[－2,0)时，f(x)的最小值为3，则m的值为(　　)
A．1 B．2
C．e D．e2
解析：选C　∵f(x)在R上是奇函数，当x∈[－2,0)时，f(x)的最小值为3，∴f(x)在(0,2]上的最大值为－3.∵当x∈(0,2]时，f′(x)＝－m2，令f′(x)＝0，解得x＝m－2；由m>知00，f(x)单调递增，当x∈(m－2,2]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝m－2时，f(x)在(0,2]上取得最大值－3.∴f(m－2)＝ln m－2－m2·m－2＝ln m－2－1＝－3，解得m＝e.故选C.
11．已知函数f(x)＝－ln x＋ax，g(x)＝(x＋a)ex，a<0，若存在区间D，使函数f(x)和g(x)在区间D上的单调性相同，则a的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，0)
C. D．(－∞，－1)
解析：选D　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋a＝.由a<0可得f′(x)<0，即f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减．g′(x)＝ex＋(x＋a)ex＝(x＋a＋1)ex，令g′(x)＝0，解得x＝－(a＋1)，当x∈(－∞，－a－1)时，g′(x)<0，当x∈(－a－1，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)的单调递减区间为(－∞，－a－1)，单调递增区间为(－a－1，＋∞)．因为存在区间D，使f(x)和g(x)在区间D上的单调性相同，所以－a－1>0，即a<－1，故a的取值范围是(－∞，－1)，选D.
12．(2018·张家界模拟)已知函数f(x)在定义域R上的导函数为f′(x)，若方程f′(x)＝0无解，且f[f(x)－2 017x]＝2 017，若g(x)＝sin x－cos x－kx在上与f(x)在R上的单调性相同，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞， ]
C．[－1，] D．[，＋∞)
解析：选A　若方程f′(x)＝0无解，则f′(x)>0或f′(x)<0恒成立，∴f(x)为R上的单调函数．若∀x∈R，都有f[f(x)－2 017x]＝2 017，则f(x)－2 017x为定值，设t＝f(x)－2 017x，则f(x)＝t＋2 017x，易知f(x)为R上的增函数．∵g(x)＝sin x－cos x－kx，∴g′(x)＝cos x＋sin x－k＝sin－k.又g(x)在上与f(x)在R上的单调性相同，∴g(x)在上单调递增，则当x∈时，g′(x)≥0恒成立，则k≤min.当x∈时，x＋∈，sin∈，sin∈[－1,2]，故k≤－1，选A.
二、填空题
13．(2018·太原二模)若函数f(x)＝sin x＋ax为R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f′(x)＝cos x＋a，由题意可知，f′(x)≤0对任意的x∈R都成立，∴a≤－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
15．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，解得a＝－3.
答案：－3
16．已知定义在(0，＋∞)上的单调函数f(x)，对任意的x∈(0，＋∞)，都有f[f(x)－log3x]＝4，则函数f(x)的图象在x＝处的切线的斜率为________．
解析：由题意，设f(x)－log3x＝m>0，则f(x)＝log3x＋m，由f[f(x)－log3x]＝4可得f(m)＝log3m＋m＝4，即m＝34－m，解得m＝3，所以f(x)＝log3x＋3，f′(x)＝，从而f′＝1，即所求切线的斜率为1.答案：1