1、2021届高考数学二轮复习 专题检测圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
2021届高考数学二轮复习 专题检测圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
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专题检测（十七） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
大题专攻强化练
1．(2019·湖南省五市十校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，过定点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证：∠PFM＝∠PFB.
解：(1)依
2、题意可设圆O的方程为x2＋y2＝b2，
∵圆O与直线x－y＋＝0相切，∴b＝＝1，
∴a2－c2＝1，
又＝，∴a＝，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：依题意可知直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－2)．
由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，
∵l与椭圆有两个交点，∴Δ>0，即2k2－1<0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵F(1，0)，∴k1＋k2＝＋＝＋＝2k－k＝2k－k×＝2k－k×＝2k－k×＝0，
即∠PFM＝∠PFB.
2．(2019·广东六校第一
3、次联考)已知椭圆D：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，点(－，1)在椭圆D上．
(1)求椭圆D的方程；
(2)过椭圆D内一点P(0，t)的直线l的斜率为k，且与椭圆D交于M，N两点，设直线OM，ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，若对任意k，存在实数λ，使得k1＋k2＝λk，求实数λ的取值范围．
解：(1)椭圆D的离心率e＝＝，∴a＝b，
又点(－，1)在椭圆D上，∴＋＝1，得a＝2，b＝，
∴椭圆D的方程为＋＝1.
(2)由题意得，直线l的方程为y＝kx＋t.
由消元可得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1
4、＋x2＝，x1x2＝，
k1＋k2＝＋＝＋＝2k＋＝2k＋t··＝.
由k1＋k2＝λk，得＝λk，
∵此等式对任意的k都成立，∴＝λ，
即t2＝2－.
∵点P(0，t)在椭圆内，∴0≤t2<2，
即0≤2－<2，解得λ≥2.
∴实数λ的取值范围是[2，＋∞)．
3．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线l1与x轴交于点M，直线l2：4x－3y＋6＝0与抛物线C没有公共点，动点P在抛物线C上，点P到l1，l2的距离之和的最小值等于2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点M的直线与抛物线C交于两个不同的点A，B，设＝λ ，求|AB|的取值范围．
解：(1)作PG，PH
5、分别垂直于l1，l2，垂足为G，H，设抛物线C的焦点为F，则F.
由抛物线定义知|PG|＝|PF|，所以点P到直线l1，l2的距离之和的最小值即为点F到直线l2的距离，故＝2，又p>0，所以p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由(1)可得点M的坐标为(－1，0)，由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)．
由消去x，整理得ky2－4y＋4k＝0，
因为直线AB与抛物线交于两个不同的点，所以Δ＝16－16k2>0，所以06、以(x1＋1，y1)＝λ(x2＋1，y2)，所以y1＝λy2，③
由①②③可得k2＝.
所以|AB|＝ |y1－y2|＝
＝
＝ ＝ ，
则|AB|2＝＝－16＝－16＝－16＝－16，
令f(λ)＝λ＋，≤λ<1，则f(λ)在上单调递减，
因此可得2<λ＋≤，
所以0<－16≤，
所以0<|AB|≤，
即|AB|的取值范围为.
4．(2019·重庆七校联考)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为.不经过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求△ABP的面积取最大值时，直
7、线l的方程．
解：(1)依题意知，e＝＝，
左焦点(－c，0)到点P(2，1)的距离d0＝＝，
得a2＝4，c2＝1，所以b2＝3，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)易得直线OP的方程为y＝x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点R(x0，y0)(y0≠0)，其中y0＝x0.
因为A，B在椭圆C上，所以＋＝1，＋＝1，两式相减得－＋－＝0，即＋＝0，
故kAB＝＝－·＝－.
由题意可设直线l的方程为y＝－x＋m(m≠0)，代入＋＝1中，
消去y并整理得3x2－3mx＋m2－3＝0，
由Δ＝(3m)2－4×3(m2－3)＝3(12－m2)>0，得－28、0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝m，x1x2＝，
所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝ .
又点P(2，1)到直线l的距离d＝＝，
所以△ABP的面积S△ABP＝·|AB|·d＝·，其中－20，当m∈(1－，2)且m≠0时，f′(m)<0，
所以当m＝1－时，S△ABP取得最大值，此时直线l的方程为3x＋2y＋2－2＝0.
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