有限元节课论文.doc

有限元方法原理综述
机电学院 机械工程
（有限元方法课程结课论文）
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摘要：简述了有限元方法的起源、发展，理论思想和在实际工程方面的应用。重点叙述了有限元方法理论实践的应用，总结了方法学习思想，滤清了学习过程中笼统的概念。最后通过简单悬架梁受载荷的实例检验所学的知识点，加深了对于理论知识的理解与记忆。
关键词：有限元方法 发展应用 工程应用 实例分析
中图分类号：TB1 文献标识码：A 文章编号 ：□□□□□□□□
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有限元法（finite element method）是计算力学的一种重要方法。自19世纪提出以来，在各个领域中得到了广泛的应用。有限元方法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散成一组且按照一定方式相互连接在一起的单元组合体。由于单元体能按照不同的链接方式组合，且单元体又有不同的形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域，然后对单元进行力学分析。最后再整合分析，这种化整为零，化单体为多体，最后在集零为整的方法就是有限元方法的主要思想。

1. 有限元方法的发展历史与进程
有限元方法起源于需要解决市政工程和航空工程方面复杂的弹性结构分析问题。它的开发可以追溯到A.Hrennikoff（1941）和R.Courant（1942）的工作。虽然这些先驱者使用这些方法，并且引人注目的不同，但他们都共享一个基本的特性：把连续域的网格离散化进入一组离散的子域里。Hrennikoff的工作是采用格子使域离散，而与之类似，为了求解起源于汽缸扭转的问题的二阶椭圆的偏微分方程式（PDEs），Richard Courant的方法是把域划分成有限的三角形子域。对于由Rayleigh，Ritz和Galerkin开发的偏微分方程式（PDEs），Richard Courant的贡献是改进，绘制了大量的早期结果。针对机身和结构分析的有限元方法的开发最早开始于1950年代中期，并且用于市政工程的有限元方法许多是1960年代在伯克利开始启动（见伯克利早期有限元研究）。在1973年Strang和Fix出版的《有限元方法的分析》里，提供的方法采用了严格的数学基础，并且已经在广泛变化的工程学科，即电磁和流体力学里，针对物理系统的数字建模，归纳成为应用数学的分枝。
在结构力学里，有限元方法的开发常常是基于能量理论，即虚功原理或最小总潜能原理，对于结构工程师来说，早就强烈要求提供综合的，直觉的和物理的依据。到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序多达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。到目前为止，有限元分析方法已经成为各工程行业必不可少的可靠分析方法。
2 有限元法的基本原理

在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度场等问题。目前求解这类场问题的方法主要有两种：用解析法求得精确解; 用数值解法求其近似解。
其中，能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的数值解法，以求出近似解。目前，工程中实用的数值解法主要有三种：有限差分法; 有限元法; 边界元法; 其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，工程应用最广。目前它已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。
2.1 基本思想
弹性力学解法的问题弹性力学解法的问题在于：不论是应力函数解法、扭转函数解法、挠曲函数解法、还是基于最小势能原理的瑞利－李兹等方法，其困难在于如何给出一个在全求解区给出一个在全求解区域上均成立的试探函数。在有限单元法里，这个问题通过定义分片插值的位移或应力函数得到了巧妙的解决。有限元方法基于变分原理和加权余量法，把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
2.2 求解步骤
建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。
区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。
)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。
单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。
总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。
边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。
解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。

3 简单悬架梁实例应用分析
实验设置：固定钢直尺一端，在另一端施加不同的载荷，计算施加载荷点的变形量。实验采用实际测量数据 ansys有限元分析数据与力学理论计算数据相比较的方法来相互验证。
3.1 力学模型简化
此实验可以简化为简单悬臂梁受力模型

3.2实际测量数据：

（实验操作 图1） （实验操作 图2）
当在直尺长度为275mm处施加载荷时
变形量/
砝码质量/

当在直尺长度为225mm处施加载荷时
变形量/
砝码质量/

当在直尺长度为175mm处施加载荷时
钢条下降量/
砝码质量/

3.3 理论值数据
钢条的变形量以挠度来计，第一种情况即距离固定端处施加荷载，弹性模量，惯性矩，则其挠度，计算可得：
第一种情况即距离固定端275mm处施加载荷
挠度/
砝码质量/

15.8
22.5
第二种情况即距离固定端225mm处施加荷载
挠度/
砝码质量/

11.9
13.2
第三种情况即距离固定端175mm处施加荷载

挠度/
砝码质量/

5.3
6.3

3.4 ANSYS软件分析
步骤1：画出模型图
用PROE画出模型图：如下图所示

步骤2：打开ANSYS，选择Static Structural(静力结构分析)模块，界面如图所示。

步骤3：选择材料，本例子选用的是不锈钢材料；如图所示。

步骤4：导入模型图：
注1：在导入PROE图时要将其后缀删掉，不然导入不能生成。如下图
变为
注2：模型图中不能有填充面，必须要有一定的高度，不然导入不能分析，如下图，（PROE最小厚度为0.067mm）。

步骤5：双击Model，进入结构分析界面。如下图所示；
步骤6：给模型赋予材料属性。本例子为不锈钢；

步骤7：网格划分。本例子为自动网格划分，只是将Relevance Center(关联中心)的Coarse(粗糙)变成Medium(中等)。网格划分如下图所示。
步骤7：施加载荷与约束；
施加约束，本例子是在一端固定约束。如下图所示；

施加载荷，本例子是秤砣的重力为载荷。在另一端施加力载荷。如下图所示：

步骤8：后处理；查看模型的总变形。

可以看到200g直径为秤砣，长300mm，宽25mm,厚1.15mm的钢直尺。最大的变形量为24.859mm。

导入模型，重复以上步骤；得到下面数据图。
1. 圆心距离固定端275mm,200g直径50mm为秤砣应力，长300mm，宽25mm,厚1.15mm的钢直尺。最大的变形量为24.859mm。

2. 圆心距离固定端275mm,250g直径为50mm秤砣，长300mm，宽25mm,厚1.15mm的钢直尺。最大的变形量为31.074mm。

3. 圆心距离固定端225mm,200g直径为50mm秤砣，长300mm，宽25mm,厚1.15mm的钢直尺。最大的变形量为13.959mm。

4. 4. 圆心距离固定端225mm,250g直径为50mm秤砣，长300mm，宽25mm,厚1.15mm的钢直尺。最大的变形量为17.448mm。

5. 5. 圆心距离固定端175mm,200g直径为50mm秤砣，长300mm，宽25mm,厚1.15mm的钢直尺。最大的变形量为6.8176mm。

6. 圆心距离固定端175mm,250g直径为50mm秤砣，长300mm，宽25mm,厚1.15mm的钢直尺。最大的变形量为8.552mm。

最后ANSYS项目管理界面。（因为钢直尺的材料一样，可以材料共享，不用每次导入输入材料属性）

3.5 数据比对分析
第一种情况为施加载荷点出为固定端275mm处

变形量（mm）
载荷（g）

200

250
与理论值对比（%）
200
250
实验数据
23
32
68.58
70.19
理论数据
15.8
22.5
100
100
Ansys分析数据
24.895
31.074
64.25
72.40
第二种情况为施加载荷点出为固定端225mm处

变形量（mm）
载荷（g）

200

250
与理论值对比（%）
200
250
实验数据
16.3
18.3
72.98
71.94
理论数据
11.9
13.2
100
100
Ansys分析数据
13.959
17.448
85.25
75.65

第一种情况为施加载荷点出为固定端175mm处

变形量（mm）
载荷（g）

200

250
与理论值对比（%）
200
250
实验数据
7
8.7
75.44
72.19
理论数据
5.3
6.3
100
100
Ansys分析数据
6.817
8.552
77.73
73.67
通过实验数据的对比，可以知道，同样的情况下，施加相同载荷时，ansys分析数据与实验测量数据相接近，并且都与理论计算数据有相同量级的偏差，所以ansys软件分析模拟的结果与实际结果一致，可以作为工程中对实际情况的可靠分析与仿真的参考依据。
4 心得与展望

有限元方法是求解复杂工程问题的一种行之有效的方法，有限元也是一种解决问题的有效工具。理解有限元，首先要从理解它的思路方法开始，事实上，任何问题的解决除了直接解决外，都逃脱不了由繁化简，由简化繁的思路。有限元方法就是在这种解决问题的思路下产生的，或许说这种方法把复杂未知的问题转化为我们已知简单的问题。这种解决问题的哲学的方法论思想正是我们这个宇宙与世界所蕴含的最普遍的哲学原理。Ansys作为我所学的第一个有限元软件，通过软件对实际问题的分析，给了我比较具体化的有限元的理解。学习一种方法以后，可能过很长的时间以后具体的软件操作，公式理论会变得模糊，但是其中所蕴含的解决问题的哲学方法一定会在生活学习的体会中愈加深刻。
具体的来说，有限元方法的学习对于我学习上的帮助主要是给了我一个可靠的分析方法，对于静力学，热力场，流体问题，和电磁场等比较常见的问题将不会像原来那样的迷茫而不知怎样解决。其实在实验的过程中也注意到，在选取工程材料之前我们可以先用ansys软件分析一下，看看其变形量，热变形量等工程中所要求的性能不至于与设计数据相差太多，在一定程度上可以消除我们选择的盲目性。
未来科技的发展将会朝着极大化与极小化的方向发展，譬如纳米机器人，譬如未来的在宇宙空间中作业的超量级空间工程设备，但是极大与极小之间都存在着必然的联系，这正是有限元方法所要解决问题，可以想象随着科技的发展未来将会有比ansys软件适用性更广，更加智能化的有限元软件出现，而这种解决问题的思想也会贯穿着人类全部的发展历程，伴随着人类社会的进步而更加完善与精细化。
参考文献
1.郭历伦；陈忠富；罗景润；陈刚；扩展有限元方法及应用综述
中国工程物理研究院总体工程研究所，2011
2.陈锡栋； 杨婕； 赵晓栋； 范细秋；有限元法的发展现状及应用
浙江海洋学院机电工程学院，,2010
3.[英]监凯维奇，[美]泰勒 著，有限元方法基本原理（第1卷）（第5版）， 2008

目 录

第一章 总 论 1
一、项目提要 1
二、可行性研究报告编制依据 2
三、综合评价和论证结论 3
四、存在问题与建议 4
第二章 项目背景及必要性 5
一、项目建设背景 5
二、项目区农业产业化经营发展现状 11
三、项目建设的必要性及目的意义 12
第三章 建设条件 15
一、项目区概况 15
二、项目实施的有利条件 17
第四章 建设单位基本情况 19
一、建设单位概况 19
二、研发能力 20
三、财务状况 20
第五章 市场分析与销售方案 21
一、市场分析 21
二、产品生产及销售方案 22
三、销售策略及营销模式 22
四、销售队伍和销售网络建设 23
第六章 项目建设方案 24
一、建设任务和规模 24
二、项目规划和布局 24
三、生产技术方案与工艺流程 25
四、项目建设标准和具体建设内容 26
五、项目实施进度安排 27
第七章 投资估算和资金筹措 28
一、投资估算依据 28
二、项目建设投资估算 28
三、资金来源 29
四、年度投资与资金偿还计划 29
第八章 财务评价 30
一、财务评价的原则 30
二、主要参数的选择 30
三、财务估算 31
四、盈利能力分析 32
五、不确定性分析 33
六、财务评价结论 34
第九章 环境影响评价 35
一、环境影响 35
二、环境保护与治理措施 35
三、环保部门意见 36
第十章 农业产业化经营与农民增收效果评价 37
一、产业化经营 37
二、农民增收 38
三、其它社会影响 38
第十一章 项目组织与管理 40
一、组织机构与职能划分 40
二、项目经营管理模式 42
三、技术培训 42
四、劳动保护与安全卫生 43
第十二章 可行性研究结论与建议 46
一、可行性研究结论 46
二、建议 47