数学物理方法教学大纲.doc

《数学物理方法》课程教学大纲（72学时）
（理论课程）

一 课程说明
（一）课程概况
课程中文名称：《数学物理方法》
课程英文名称：Mathematics physics method
课程编码：3910252114
开课学院：理学院
适用专业/开课学期：物理学/第4学期
学分/周学时：4学分/周4学时
《数学物理方法》是物理学本科专业的必修专业主干课，通过该课程的学习，使学生掌握复变函数、数学物理方程和特殊函数的基本理论、建模方法和计算方法，培养学生用数学方法和物理规律解决各类物理实际问题的能力，为后续课程的学习打下良好的基础。
本课程是前期课程《高等数学》的延伸为后继开设的《电动力学》、《量子力学》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。本课程在本科物理学专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。
（二）课程目标
通过本课程的学习，使学生掌握处理物理问题的一些基本数学方法，为进一步学习后继课程提供必要的数学基础。要求学生熟悉复变函数(特别是解析函数)的一些基本概念，掌握泰勒级数及洛朗级数的展开方法，利用留数定理来计算回路积分和三类实变函数的定积分；掌握傅立叶变换和拉普拉斯变换的概念及性质，并能运用拉普拉斯变换方法求解积分、微分方程。了解三种类型的数学物理方程的导出过程，能熟练写出定解问题；掌握用行波法求解一维无界及半无界波动方程，利用分离变量法求解各类齐次及非齐次方程；了解特殊函数的常微分方程，掌握用级数解法求解二阶常微分方程，了解施图姆-刘维尔本征值问题及性质；掌握勒让德多项式、贝塞尔函数及性质，并能利用勒让德多项式求解三维轴对称拉普拉斯方程。
（三） 学时分配
章（专题）
主要内容
理论学时
1
复变函数
6
2
复变函数的积分
4
3
幂级数展开
6
4
留数定理
2
5
傅里叶变换
4
6
拉普拉斯变换
3
7
数学物理定解问题
8
8
分离变数法
10
9
二阶常微分方程级数解法
本征值问题
6
10
球函数
6
11
柱函数
6
12
格林函数法
6
13
积分变换法
5

二 教学方法和手段
1．本课程课堂讲授约需72课时。
2．学生在学习过程中应注重各专题所要求内容的全貌，以掌握基本思想和基本方法为主，培养创新精神。
3．在学习过程中，应以推荐教材为主，适当参考所列出的或其它的参考书，要适应各种不同的教材的编排体系和书写符号等。
三 教学内容
第一篇 复数函数论
本篇概述
复数函数论是指自变数为复数的函数。它是实变函数在自变数方面的延伸，并形成了一个独立的理论分支。复变函数在物理学中有极其广泛的应用。首先，由于复变数的引入，赋予了一些物理量以新的意义。例如，物理学中普遍使用复阻抗，复势，复频率，复介电常数，复磁导率，复哈密顿量等等。这些复数量都具有新的物理内涵。其次，许多复变函数论的方法，如科希积分，回路积分，罗朗级数筹，给物理学许多领域中大量的实际问题提供了有效的处理手段。因此，复变函数论成为数学物理方法的一个重要组成部分。
在本篇中，首先引人复变函数的基本概念，特别是复导数、科希—里曼条件及解析函数的概念。其次讨论复变函数的积分，论述科希定理，并在这个基础上导出科希公式，得到一个函数在解析点处及其高阶导数在该点处的积分表达式。然后，讨论复变函数的幂级数展开理论，同时对复变函数的孤立奇点进行分类和各类奇点的性态分析。最后，指出留数定理及其应用。鉴于复变函数所涉及的范围很广，对于其它的内容，在本大纲中不作要求。
在本篇的教学中，学生要善于将复变函数与实变函数进行比较。一方面，要注意它们之间的理论相似之处，充分利用已学的实变函数的知识，来认识复变函数相应的理论。另一方面，要注意它们的不同之处，了解复变函数有关理论的特点进行学习。在本篇中特别要重视解析函数的有关内容，这是贯串本篇知识的轴线。
幂级数的每一项都是以幂函数作为基本函数的，由于幂函数不是周期函数，所以将某一函数展开成幂级数后，就很难体现周期性的这个特征。如果要着重研究某一函数的周期性时，需要用到傅立叶级数展开理论。这部分内容虽然是前导课程的范围，但在本课程的第二篇中有重要应用，学生必须进行很好地复习巩固。
傅立叶级数理论，还可以延伸到无穷区间上定义的函数，形成了傅立叶积分理论。傅立叶积分理论，是数学物理方程的一个较重要的内容，也是本篇的一个重要组成部分。同傅里叶级数理论一样，它在物理学的许多领域中被广泛地应用。
傅立叶展开还有进一步的理论，即广义傅立叶级数展开理论。这部分的内容，将在第二篇的有关特殊函数理论中阐述。
一 复变函数（6学时）
一、 教学目标
熟悉复变函数(特别是解析函数)的一些基本概念，掌握解析函数的性质和求解方法。
二、 教学重、难点
重点：复变函数的运算，科希—里曼条件，解析函数
难点：复数球与无限远点、复变函数连续、极限、导数的概念的理解与掌握。
三、 主要内容
1．复数的基本概念和基本运算；
2．复变函数的定义，连续性；
3．多值函数的概念；
4．复变函数的求导方法及科希—里曼方程；
5．解析函数的概念，熟悉一些简单的解析函数的表示式。
6．从实变函数到复变函数的推广过程中的创新思想与方法。
二 复变函数的积分（4学时）
一、教学目标
掌握复变函数的积分的概念及积分存在的条件、性质及计算方法，掌握柯西定理及其推广式并会灵活运用，掌握柯西公式及解析函数的任意阶可导性及高阶导数公式，并会灵活运用柯西公式及高阶导数公式计算闭路积分。
二、教学重、难点
重点：复变函数积分、柯西定理、柯西公式
难点：柯西定理、不定积分、柯西公式。
三、主要内容
1．复变数函数路积分的概念；
2．科希定理及孤立奇点的定义；
3．运用科希公式。
三 幂级数展开（6学时）
一、教学目标
掌握泰勒级数及罗朗级数的展开方法。
二、教学重、难点
重点：幂级数的性质、幂级数收敛半径的求法，泰勒级数展开法、罗朗级数展开法
难点：罗朗级数展开，孤立奇点类型判断
三、主要内容
1．复数项级数概念；
2．幂级数的敛散性的判别法及收敛半径的计算方法；
3．对一些简单的解析函数进行泰勒级数展开；
4．解析延拓的含义*；
5．一些简单的函数在孤立奇点邻域内进行罗朗级数展开；
6．孤立奇点的三种类型，极点的阶；
四 留数定理（2学时）
一、教学目标
了解求留数的方法和利用留数定理来计算三类实变函数的定积分的方法。
二、教学重、难点
重点：留数定理、求留数的方法及留数定理在计算实变函数定积分上的运用。
难点：留数定理计算某些实变函数定积分。
三、主要内容
1．留数定理、留数的计算方法；
2．应用留数定理计算实变函数的定积分。
五 傅里叶变换（4学时）
一、教学目标
掌握周期函数和非周期函数的傅里叶级数展开方法，傅立叶变换的概念及性质，δ函数的性质。
二、教学重、难点
重点：傅里叶级数展开和傅里叶积分与傅里叶变换的相关知识
难点：δ函数的性质的学习
三、主要内容
1．非周期函数的傅里叶积分表达式和傅立叶变换的概念。
2．傅立叶变换的基本性质与方法。
3．提出狄拉克函数过程中的创造性思想。
4．狄拉克函数的定义、基本性质和常用表达式。
六 拉普拉斯变换（3学时）
一、教学目标
了解拉普拉斯变换的概念及性质，能运用拉普拉斯变换方法求解微分方程。
二、教学重、难点
重点：拉普拉斯变换的相关知识，拉普拉斯变换的应用。
难点：运用拉普拉斯变换方法求解微分方程。
三、主要内容
1. 拉普拉斯变换；
2. 拉普拉斯变换的反演；
3. 运用拉普拉斯变换方法求解微分方程。
第二篇 数学物理方程
本篇概述
数学物理方程是本课程的重点，本篇主要是讨论与三类典型的二阶线性偏微分方程对应的定解问题以及由此而连带引出的本征值问题和特殊函数理论。这三类方程在物理学的许多领域中具有其广泛的应用，例如在理论力学中的哈密顿方程，电动力学中的麦克斯韦方程，量子力学中的薛定谔方程等等都与这三类方程有密切的关系。
数学物理方程的意义还在于，对本质上不同的物理问题可以具有相同的数学模型。通过同一数学模型的研究，反过来就可用类比的方法对不同本质的物理问题进行探讨。所以，系统地了解这些典型的数学物理方程及其求解方法，无疑是研究物理学的重要手段。
本篇主要是涉及几种常用的方程所对应的定解问题的基本解法，侧重介绍行波法和分离变数法。这两种方法是求解数学物理方程定解问题的最基本的方法，学生必须对它们有深刻的理解，特别要灵活掌握分离变数法。
在本篇中，将讨论分离变数法所引伸出的本征值问题以及二阶线性常徽分方程的幂级数解法。本征值问题是常微分方程的一个理论分支，有时可以利用幂级数方法求解，这时可能会出现高等超越函数，即特殊函数。
本篇还要讨论有关的特殊函数，特别是勒让得函数的理论。特殊函数的内容十分丰富，在数学中已成为一个独立分支，它在物理学和工程技术中有着广泛的应用。例如静电势的球坐标解将会出现勒让得函数，而在柱坐标下的解将会出现贝塞尔函数，量子力学中谐振子本征解为厄密多项式，中心势的角向函数可由球谐函数构成，而库伦势的径向函数由连带拉盖尔多项式构成等等。本大纲只较详细地涉及一类常见的特殊函数，即勒让德函数。
数学物理方程及其有关的理沦远远不止本篇所指定的内容。但是学生学好本篇内容以后，其它方面的理论就不会产生较大的困难了，可以通过进一步自学来掌握。
七 数学物理定解问题（8学时）
一、教学目标
了解三种类型的数学物理方程的导出过程，能熟练写出定解问题。
二、教学重、难点
重点：三种类型的数学物理方程的导出过程和定解问题的写法
难点：数学物理方程的导出
三、主要内容
1．定解问题的提法；
2．几种常见的数学物理方程的导出；
3．几种常见的边界条件和初始条件的表示形式；
4．对两个自变数的线性偏微分方程进行分类；
5．行波法的意义，行波的物理意义，熟练运用达朗伯公式。
八 分离变数法（10学时）
一、教学目标
了解三种类型的数学物理方程的导出过程，能熟练写出定解问题。
二、教学重、难点
重点：三种类型的数学物理方程的导出过程和定解问题的写法
难点：数学物理方程的导出
三、主要内容
1．定解问题的提法；
2．几种常见的数学物理方程的导出；
3．几种常见的边界条件和初始条件的表示形式；
4．对两个自变数的线性偏微分方程进行分类；
5．行波法的意义，行波的物理意义，熟练运用达朗伯公式。
九 二阶常微分方程的级数解 本征值问题（6学时）
一、教学目标
了解特殊函数的常微分方程，掌握用级数解法求解二阶常微分方程，了解施图姆-刘维尔本征值问题及性质。
二、教学重、难点
重点：二阶常微分方程的级数解法。微分方程的级数解法，本征函数族
难点：微分方程的级数解法，本征函数族，施图姆-刘维尔本征值问题及性质
三、主要内容
1．掌握对方程进行分离变数的一般方法，了解一些常见方程进行分离变数后特殊的情形
2．掌握微分方程在常点邻域的级数解法；
3．了解微分方程在正则奇点邻域的级数解法；
4. 了解斯特姆—刘维型本征值问题的提法。了解常见的本征值问题解族的正交性、模和函数族展开理论。
十 球函数（6学时）
一、教学目标
掌握轴对称情况下的勒让德多项式，了解轴对称球函数在轴对称定解问题中的应用，能利用球函数求解拉普拉斯方程的轴对称定解问题。
二、教学重、难点
重点：勒让德多项式及其微分形式，轴对称球函数在轴对称定解问题中的应用，利用球函数求解拉普拉斯方程的轴对称定解问题
难点：利用球函数求解拉普拉斯方程的轴对称定解问题
三、主要内容
1．勒让得多项式概念勒让得多项式的微分形式，正交关系，模的计算，及其广义傅立叶展开理论及方法；
2．一般球函数和连带勒让得函数的概念。
十一 柱函数（6学时）
一、教学目标
一般掌握三类柱函数的概念。
二、教学重、难点
重点：贝塞尔函数的性质及其应用
难点：利用贝塞尔函数求解柱坐标系下的拉普拉斯方程
三、主要内容
1．贝塞尔函数级数形式，正交关系，模的计算，及广义傅立叶展开理论及方法；
2．其他柱函数的概念和性质。
十二 格林函数法（6学时）
一、教学目标
了解三类柱函数的概念，掌用电像法握法求格林函数，泊松积分。
二、教学重、难点
重点：掌握用电像法求格林函数
难点：格林函数法在求解定解问题中的应用
三、主要内容
1．泊松方程的基本积分公式，用电像法求格林函数，泊松积分；
2．含时间的格林函数的概念。
十三 积分变换法（5学时）
一、教学目标
了解用傅立叶变换法、拉普拉斯变换法求解简单数学物理定解问题。
二、教学重、难点
重点：用傅立叶变换法求解一维无界波动问题和输运问题
难点：傅立叶变换法、拉普拉斯变换法
三、主要内容
1．傅立叶变换法在一维无界波动问题和输运问题的应用；
2．傅立叶变换法在多维无界问题中的应用；
3．拉普拉斯变换的在数学物理中的应用。

四 考核办法
（一）考核方式闭卷
（二）评分办法：平时成绩占50%，期末考核占50%。

五 教材及主要参考书目
（一）教材：
梁昆淼编，数学物理方法，北京：高等教育出版社，2010年第四版；
（二）参考书目：
[1] 刘连寿、王正清编，数学物理方法，北京：高等教育出版社，1991年；
[2] 严镇军编，数学物理方法，合肥：中国科学技术大学出版社，1999年；
[3] 吴崇试编，数学物理方法，北京，北京大学出版社，1999；
[4] 邵惠民编，数学物理方法，北京，科学出版社，2004；
[5] 姚端正 梁家室编，数学物理方法，武汉，武汉大学出版社，2004；
[6] 胡嗣柱 徐建军编，数学物理方法解题指导，北京，高等教育出版社，1997。