初中数学复习-命题与证明大学论文.doc

第2章 命题与证明（9上）
必记中考重点基础知识梳理

一、定义：一般地，能明确指出概念含义或特征的句子称为定义。
二、命题
1、定义：能够判断它是正确的或是错误的句子叫做命题。
2、组成：条件和结论。命题常写成“如果……那么……”的形式，用“如果”开始的部分是条件（题设），用“那么”开始的部分是结论。

3、分类：真命题和假命题
⑴真命题就是正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立．如：
①两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
②如果a＞b，b＞c那么a＞c．
③对顶角相等．
⑵假命题就是错误的命题。
一个命题都可以写成这样的格式：如果+条件，那么+结论。条件和结果相矛盾的命题是假命题，如：
三角形的三个内角和不等于180度。
人会飞。
另外如果结论不完全符合条件（有符合条件但不符合结论的特例），也算假命题，如： 　　四边形是正方形（四边形包括正方形但不仅仅指正方形，还有矩形、梯形等）。
另外有些命题的条件和结论互换，效果是不一样的，有的可能从真命题变成假命题，有的可能性质不变，如：
正方形是四边形。（真） 四边形是正方形。（假）
内角和为180度的封闭图形是三角形。（真）
三角形是内角和为180度的封闭图形。（真）

三、公理和定理
公理是人们在长期实践中总结出来的、正确的命题，它不需要用其他的方法来证明。例如几何中我们学过的公理：
①经过两点有且只有一条直线。
②经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
③同位角相等，两直线平行。
④两直线平行，同位角相等。
公理的正确性是在实践中得以证实的，是被大家公认的，不再需要其他的证阴，并且它可以作为证明其他真命题的依据．如应用公理③可以推导出“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”．
定理是根据公理或已知的定理推导出来的真命题．这些真命题都是最基本的和常用的，所以被人们选作定理．还有许多经过证明的真命题没有被选作定理。所以，定理都是真命题，而真命题不都是定理。例如：“若∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3”这就是一个真命题，但不能说是定理．
总之，公理和定理都是真命题，但有的真命题既不是公理．也不是定理．公理和定理的区别主要在于：公理的正确性不需要用推理来证明，而定理需要证明．

四、证明
根据题设，定义以及公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。
1、目的：判断命题为真。
2、依据：定义、公理和已经证明过的定理。
3、一般步骤
①审：审清题意，找出条件与结论；
②画：画出图形；
③写：写出已知、求证；
④析：分析要证的命题和已知条件的关系；
⑤证：写出证明的过程。
4、常用方法
①综合法：由已知条件推导结论；
②分析法：由结论逆推到已知条件；
③反证法：假设所证命题不成立，导出矛盾。

五、基本定理
1、过两点有且只有一条直线。
2、两点之间线段最短。
3、同角或等角的补角相等。
4、同角或等角的余角相等。
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
7、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
9、同位角相等，两直线平行。
10、内错角相等，两直线平行。
11、同旁内角互补，两直线平行。
12、两直线平行，同位角相等。
13、两直线平行，内错角相等
14、两直线平行，同旁内角互补。
15、定理 三角形两边的和大于第三边。
16、推论 三角形两边的差小于第三边。
17、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。
18、推论1 直角三角形的两个锐角互余。
19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
21、全等三角形的对应边、对应角相等。
22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上。
29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
30、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）。
31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。
32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。
33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
34、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。
35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形。
36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
39、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
40、逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。
42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形。
43、定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
45、逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
46、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。
47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
48、定理 四边形的内角和等于360°。
49、四边形的外角和等于360°。
50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n－2）×180°。
51、推论 任意多边的外角和等于360°。
52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等。
53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等。
54、推论 夹在两条平行线间的平行线段相等。
55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分。
56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形。
60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角。
61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等。
62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形。
63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形。
64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等。
65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2。
67、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形。
68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的。
72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
73、逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
74、等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等。
75、等腰梯形的两条对角线相等。
76、等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
77、对角线相等的梯形是等腰梯形。
78、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
81、三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
82、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h

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