2022高考数学一轮复习-课时规范练46-双曲线北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 课时规范练46 双曲线北师大版

2022高考数学一轮复习 课时规范练46 双曲线北师大版

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姓名：

课时规范练46　双曲线
基础巩固组
1.(2020山东济南三模,6)已知双曲线C的方程为x216-y29=1,则下列说法错误的是(　　)

A.双曲线C的实轴长为8
B.双曲线C的渐近线方程为y=±34x
C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3
D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为94
2.设双曲线C:x28-y2m=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线C交于M,N两点,其中M在左支上,N在右支上.若∠F2MN=∠F2NM,则|MN|=(　　)
A.82 B.8 C.42 D.4
3.(2019全国3,理10)双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(　　)
A.324 B.322 C.22 D.32
4.(2020全国3,理11)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
5.(2020陕西安康高新中学检测)设F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A为C的左顶点,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠MAN=135°,则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=±12x B.y=±33x
C.y=±3x D.y=±2x
6.

(2020山东泰安三模,8)如图,已知双曲线C:x2a2-y2a+2=1的左、右焦点分别为F1,F2,M是C上位于第一象限内的一点,且直线F2M与y轴的正半轴交于点A,△AMF1的内切圆在边MF1上的切点为N,若|MN|=2,则双曲线C的离心率为(　　)
A.52 B.5 C.2 D.2
7.(2020全国2,理8,文9)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为(　　)
A.4 B.8 C.16 D.32
8.(2020天津,7)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为(　　)
A.x24-y24=1 B.x2-y24=1
C.x24-y2=1 D.x2-y2=1
9.(2020河北唐山模拟)过双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F(-5,0),作圆(x-5)2+y2=4的切线,切点在双曲线E上,则E的离心率等于(　　)
A.25 B.5 C.53 D.52
10.(2020江苏,6)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=52x,则该双曲线的离心率是　　　　. 
11.(2020北京,12)已知双曲线C:x26-y23=1,则C的右焦点的坐标为　　　　　;C的焦点到其渐近线的距离是　　　　　. 
综合提升组
12.(2020浙江,8)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=34-x2图像上的点,则|OP|=(　　)
A.222 B.4105 C.7 D.10
13.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心,半实轴长为半径的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P,Q,若OQ=3OP(其中O为原点),则双曲线C的离心率为(　　)
A.7 B.5 C.52 D.72
14.(2020全国1,理15)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为　　　　　. 
15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的渐近线上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围是　　　　. 
创新应用组
16.已知双曲线C:x24-y2=1,直线l:y=kx+m与双曲线C相交于A,B两点(A,B均异于左、右顶点),且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D,则直线l所过定点为　　　　　. 

参考答案

课时规范练46　双曲线
1.D　由题意a=4,b=3,则c=5,则双曲线C的实轴长为2a=8,故A正确;
双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±34x,故B正确;
取焦点F(5,0),则焦点F到渐近线y=±34x的距离d=|3×5|32+42=3,故C正确;
双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c-a=5-4=1,故D错误.故选D.
2.A　由∠F2MN=∠F2NM可知,|F2M|=|F2N|.由双曲线定义可知,|MF2|-|MF1|=42,|NF1|-|NF2|=42,两式相加得|NF1|-|MF1|=|MN|=82.故选A.
3.A　由已知可得a=2,b=2,
则c=a2+b2=6,∴F(6,0).
∵|PO|=|PF|,∴xP=62.
又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=22x上,∴yP=22×62=32.
∴S△PFO=12|OF|·|yP|=12×6×32=324.故选A.
4.A　不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>n,依题意得,ca=5,12mn=4,m2+n2=4c2,m-n=2a,解得a=1.
5.D　设以F1F2为直径的圆与渐近线y=bax相交于点M(x0,y0)(x0>0),由对称性得N(-x0,-y0).由y=bax,x2+y2=c2,
解得M(a,b),N(-a,-b).
∵A(-a,0),∴∠NAF2=90°,
又∠MAN=135°,∴∠MAF2=45°,
∴b=2a,∴渐近线方程为y=±2x.故选D.
6.D　设△AMF1的内切圆在边AF1,AM的切点分别为E,G,则|AE|=|AG|,|EF1|=|F1N|,|MN|=|MG|.
|MF1|-|MF2|=2a,则|EF1|+|MG|-|MF2|=2a,由对称性可知|AF1|=|AF2|,化简可得|MN|=a,则a=2,a+2=4.故双曲线C的离心率为22+42=2.
7.B　由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=±bax.因为直线x=a与双曲线的渐近线分别交于D,E两点,
所以不妨令D(a,-b),E(a,b),
所以|DE|=2b.所以S△ODE=12×2b·a=ab=8.
所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=22时取等号.
所以c≥4,所以2c≥8.所以双曲线C的焦距的最小值为8.故选B.
8.D　∵双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,y2=4x的焦点坐标为(1,0),
直线l方程为yb+x1=1,即y=-bx+b,∴-b=-ba且-b·ba=-1,
∴a=1,b=1.故选D.
9.B　设圆的圆心为G,由圆的方程(x-5)2+y2=4,知圆心坐标为G(5,0),半径R=2,则|FG|=25.
设切点为P,则GP⊥FP,|PG|=2,|PF|=2+2a.
由|PF|2+|PG|2=|FG|2,即(2+2a)2+4=20,
即(2+2a)2=16,得2+2a=4,a=1.
又因为c=5,所以双曲线的离心率e=ca=5.故选B.
10.32　本题考查双曲线的渐近线方程.
由双曲线x2a2-y25=1(a>0),得其渐近线方程为y=±5ax,又因为其中一条为y=52x,
所以a=2.所以c2=a2+b2=4+5=9,
所以c=3.则离心率e=ca=32.
11.(3,0)　3　　在双曲线C中,a=6,b=3,则c=a2+b2=3,则双曲线C的右焦点坐标为(3,0).因为双曲线C的渐近线方程为y=±22x,即x±2y=0,所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为d=312+2=3.
12.D　由条件可知点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,并且c=2,a=1,所以b2=3,所以双曲线方程为x2-y23=1(x>0).又点P为函数y=34-x2图像上的点,联立方程x2y23=1(x>0),y=34-2,解得x2=134,y2=274.
所以|OP|=x2+y2=10.
故选D.
13.D　设双曲线的一条渐近线方程为y=bax,H为PQ的中点,可得FH⊥PQ,

由F(c,0)到渐近线的距离为|FH|=d=bca2+b2=b,∴|PH|=a2-b2.又OQ=3OP,
∴|OH|=c2-b2=2a2-b2,
即7a2=4c2,∴e=72,故选D.
14.2　由题意可得A(a,0),F(c,0),其中c=a2+b2.由BF垂直于x轴可得点B的横坐标为c,代入双曲线方程可得点B的坐标为Bc,±b2a.
∵AB的斜率为3,∴Bc,b2a.
∵kAB=b2ac-a=b2a(c-a)=c2-a2a(c-a)=c+aa=e+1=3,∴e=2.
15.1,53　设P(x,y),则(x+c)2+y2=4[(x-c)2+y2],
化简得x-53c2+y2=169c2,
所以点P在以M5c3,0为圆心,43c为半径的圆上.又因为点P在双曲线的渐近线bx±ay=0上,
所以渐近线与圆M有公共点,
所以53bcb2+a2≤43c,解得5b≤4c,即ca≤53,所以双曲线离心率的取值范围是1,53.
16.-103,0　设点A(x1,y1),B(x2,y2),
由y=kx+m,x24-y2=1,
得(1-4k2)x2-8kmx-4(m21)=0,
所以Δ=64k2m2+16(1-4k2)(m2+1)>0,x1+x2=8km1-4k2,x1x2=-4(m2+1)1-4k2,所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=m2-4k21-4k2.
因为以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(-2,0),所以kAD·kBD=-1,
即y1x1+2·y2x2+2=-1,
所以y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0,
即m2-4k21-4k2+-4(m2+1)1-4k2+16km1-4k2+4=0,所以3m2-16km+20k2=0,解得m=2k或m=10k3.
当m=2k时,直线l的方程为y=k(x+2),此时直线l过定点(-2,0),与已知矛盾;
当m=10k3时,直线l的方程为y=kx+103,此时直线l过定点-103,0,经检验符合题意.
故直线l过定点-103,0.