1、2022届高考数学统考一轮复习 微专题非线性回归直线方程的求解学案新人教版
2022届高考数学统考一轮复习 微专题非线性回归直线方程的求解学案新人教版
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微专题(二十九) 非线性回归直线方程的求解
回归分析中，依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的，还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析．通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理．
[例] 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(
2、单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2
(wi－)2
(xi－)·(yi－)
(wi－)·(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中wi＝，＝i.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y
3、－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.
解析：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于＝＝＝68，
＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x
4、＝49时，
年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
名师点评 非线性回归方程的求法
(1)根据原始数据(x，y)作出散点图．
(2)根据散点图选择恰当的拟合函数．
(3)作恰当的变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程．
(4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程．
[变式练] 二手
5、车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：
使用年数
2
3
4
5
6
7
售价y
20
12
8
6.4
4.4
3
z＝ln y
3.00
2.48
2.08
1.86
1.48
1.10
下面是z关于x的折线图：
(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明；
(2)求y关于x的回归方程并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少？(、小数点后保留两位有效数字)．
参考公式：回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
6、＝＝；
＝－，r＝
参考数据：iyi＝187.4，izi＝47.64，＝139，＝4.18，＝13.96，＝1.53，ln 1.46≈0.38，ln 0.711 8≈－0.34.
微专题(二十九)
变式练
解析：(1)由题意，计算
＝×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，
＝×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2.
且izi＝47.64, ＝4.18, ＝1.53，
∴r＝
＝＝－≈－0.99.
∴z与x的相关系数大约为－0.99，说明z与x的线性相关程度很高．
(2)利用最小二乘法估计公式计算
＝＝＝－≈－0.36.
∴＝－＝2＋0.36×4.5＝3.62.
∴z与x的线性回归方程是＝－0.36x＋3.62.
又z＝ln y，
∴y关于x的回归方程是＝e－0.36x＋3.62，
令x＝9，解得＝e－0.36×9＋3.62≈1.46，
即预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约1.46万元．
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