1、2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练不等式选讲
2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练不等式选讲
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增分强化练(四十三)
考点一 绝对值不等式的解法
已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为，求实数a的值．
解析：(1)由题意，
可得函数f(x)＝，
由f(x)≥3可知：
①当x≥1时，3x≥3，即x≥1；
②当－＜x＜1时，x＋2≥3，即x≥1，与－＜x＜1矛盾，舍去；
③当x≤－时，－3
2、x≥3，即x≤－1；
综上可知，不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤－1或x≥1}．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，其中A，B(1,3)，
由kAB＝1，知y＝x＋a图象与直线AB平行，若要围成多边形，则a＞2.
易得y＝x＋a与y＝f(x)图象交于两点C，D，
则|CD|＝·＝a.
平行线AB与CD间的距离d＝＝，
且|AB|＝，
∴梯形ABCD的面积S＝·＝·(a－2)＝，(a＞2)．
即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4，
故所求实数a的值为4.
考点二 与绝对值有关的参数范围问题
(2019·淮南模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋2.
3、1)解不等式f(x)＋f(x＋1)>f(7)；
(2)设g(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得g(x1)＝f(x2)成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)不等式f(x)＋f(x＋1)>f(7)等价于|x－2|＋|x－1|>3，
①当x>2时，原不等式即为2x－3>3，解得x>3，所以x>3；
②当13，解得x∈∅，所以x∈∅；
③当x≤1时，原不等式即为－2x＋3>3，解得x<0，所以x<0；
所以不等式f(x)＋f(x＋1)>f(7)的解集为{x|x<0或x>3}．
(2)对任意x1∈R，都有x2∈R，使得g(
4、x1)＝f(x2)成立，则
{y|y＝g(x)}⊆{y|y＝f(x)}．
因为g(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥ |(2x－a)－(2x＋3)|＝ |a＋3|，
当且仅当(2x－a)(2x＋3)≤0时取等号，又f(x)＝|x－2|＋2≥2，
所以|a＋3|≥2，从而a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围(－∞，－5]∪
[－1，＋∞)．
考点三 不等式的证明
(2019·泉州质检)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)≤2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，2≥a－b.
解析：(1)f(x)＝＋
＝，
所以不等式的解集为M＝[－1,1]．
(2)证明：要证2≥a－b，
只需证2≥|a－b|,
即证4(1－ab)≥|a－b|2,
只需证4－4ab≥a2－2ab＋b2，
即4≥a2＋2ab＋b2,
即证4≥(a＋b)2,
只需证2≥|a＋b|，
因为a，b∈M，所以|a＋b|≤2，
所以所证不等式成立．
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