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2022版高考数学大一轮复习 第10章 圆锥曲线与方程 第2讲 双曲线备考试题

2022版高考数学大一轮复习 第10章 圆锥曲线与方程 第2讲 双曲线备考试题

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第十章　圆锥曲线与方程
第二讲　双曲线
练好题·考点自测
1.给出以下关于双曲线的命题:
①双曲线y29-x24=1的渐近线方程是y=±23x;
②若点(2,3)在焦距为4的双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上,则此双曲线的离心率e=2;
③若点F,B分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上;
④等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于2;
⑤若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与y2b2-x2a2=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1(称这两条双曲线互为共轭双曲线).
以上说法正确的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.[2019全国卷Ⅰ,10,5分][文]双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为(　　)
A.2sin 40° B.2cos 40° C.1sin50° D.1cos50°
3.[2020全国卷Ⅱ,9,5分][文]设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为(　　)
A.4 B.8 C.16 D.32

图10-2-1
4.[2021大同市调研测试]如图10-2-1,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作线段F2P与C交于点Q,且Q为PF2的中点.若等腰三角形PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距,则C的离心率为(　　)
A.-2+2157 B.43
C.2+2157 D.32
5.[2018天津,7,5分]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(　　)
A.x24-y212=1 B.x212-y24=1
C.x23-y29=1 D.x29-y23=1
6.[2020北京,14,5分]已知双曲线C:x26-y23=1,则C的右焦点的坐标为　　　　;C的焦点到其渐近线的距离是　　　　. 
7.[2020全国卷Ⅰ,15,5分]已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为　　　　. 

拓展变式
1.(1)[2020广东七校第一次联考]P是双曲线C:x22-y2=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为(　　)
A.1 B.2+155 C.4+155 D.22+1
(2)[2020全国卷Ⅰ,11,5分][文]设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(　　)
A.72 B.3 C.52 D.2
2.[2020天津,7,5分]设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为(　　)
A.x24-y24=1 B.x2-y24=1
C.x24-y2=1 D.x2-y2=1
3.[2020成都三诊]已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A,且π6≤∠F1AF2≤π4,则该双曲线离心率的取值范围是(　　)
A.[5,13] B.[5,3] C.[3,13] D.[7,3]
答 案
第十章　圆锥曲线与方程
第二讲　双曲线

1.D　对于①,双曲线y29-x24=1的渐近线方程应是y=±32x,故①不正确;
对于②,双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),
2a=|(2+2)2+(3-0)2-(2-2)2+(3-0)2|=2,a=1,从而离心率e=2,所以②正确;
对于③,F(±c,0),B(0,±b),FB的中点坐标(±c2,±b2)不满足双曲线的渐近线方程y=±bax,所以③正确;
对于④,由等轴双曲线的性质可得④正确;
对于⑤,由共轭双曲线的性质可知⑤正确.故选D.
2.D　依题意知,-ba=tan 130°=tan(130°-180°)=-tan 50°,两边同时平方得c2-a2a2=tan250°=e2-1,e2=1+tan250°=1cos250°,又e>1,∴e=1cos50°,选D.
【拓展结论】　实际上,若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为θ,则该双曲线的离心率e=|1cosθ|.
3.B　由题意知双曲线的渐近线方程为y=±bax.因为D,E分别为直线x=a与双曲线C的两条渐近线的交点,所以不妨设D(a,b),E(a,-b),所以S△ODE=12×a×|DE|=12×a×2b=ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=22时等号成立.所以c≥4,所以2c≥8,所以C的焦距的最小值为8,故选B.
4.C　连接F1Q,由△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形,且Q是PF2的中点,知F1Q⊥PF2,又|PF2|=c,所以|QF2|=c2,由双曲线的定义可得|F1Q|=c2+2a,根据F1Q⊥PF2和|F1F2|=2c得,(c2)2+(c2+2a)2=(2c)2,化简整理得7c2-4ac-8a2=0,方程两边同时除以a2得7e2-4e-8=0,又e>1,所以e=2+2157,故选C.
5.C　解法一　因为直线AB经过双曲线的右焦点,所以不妨取A(c,b2a),B(c,-b2a),取双曲线的一条渐近线为直线bx-ay=0,由点到直线的距离公式可得d1=|bc-b2|a2+b2=bc-b2c,d2=|bc+b2|a2b2=bc+b2c,因为d1+d2=6,所以bc-b2c+bc+b2c=6,所以2b=6,得b=3.因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,即ca=2,所以a2+b2a2=4,所以a2+9a2=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为x23-y29=1,故选C.
解法二　由直线AB过双曲线的右焦点且垂直于x轴,d1+d2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b=3.因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以ca=2,所以a2+b2a2=4,所以a2+9a2=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为x23-y29=1,故选C.
6.(3,0)　3　双曲线C:x26-y23=1中,c2=6+3=9,∴c=3,则C的右焦点的坐标为(3,0),C的渐近线方程为y=±36x,即x±2y=0,则C的焦点到其渐近线的距离d=33=3.
7.2　设B(c,yB),因为B为双曲线C:x2a2-y2b2=1上的点,所以c2a2-yB2b2=1,所以yB2=b4a2.因为AB的斜率为3,所以yB=b2a,b2ac-a=3,所以b2=3ac-3a2,所以c2-a2=3ac-3a2,所以c2-3ac+2a2=0,解得c=a(舍去)或c=2a,所以C的离心率e=ca=2.
【易错警示】　本题的易错点有两处:一是忽视题眼“AB的斜率为3”,由yB2=b4a2得yB=±b2a;二是将双曲线中a,b,c的关系式与椭圆中a,b,c的关系式搞混.

1.(1)D　设双曲线的右焦点为F2,因为|PF1|-|PF2|=22,所以|PF1|=22+|PF2|,|PF1|+|PQ|=22+|PF2|+|PQ|.当且仅当Q,P,F2三点共线,且P在Q,F2之间时,|PF2|+|PQ|最小,且最小值为点F2到直线l的距离.由题意可得直线l的方程为y=±22x,焦点F2(3,0),点F2到直线l的距离d=1,故|PQ|+|PF1|的最小值为22+1,故选D.
(2)B　解法一　设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则由题意可知F1(-2,0),F2(2,0),又|OP|=2,所以|OP|=|OF1|=|OF2|,所以△PF1F2是直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=16.不妨令点P在双曲线C的右支上,则有|PF1|-|PF2|=2,两边平方,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,又|PF1|2+|PF2|2=16,所以|PF1|·|PF2|=6,则S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=12×6=3,故选B.
解法二(结论解法)　设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则由题意可知F1(-2,0),F2(2,0),又|OP|=2,所以|OP|=|OF1|=|OF2|,所以△PF1F2是直角三角形,所以S△PF1F2=b2tanθ2=3tan45°=3(其中θ=∠F1PF2),故选B.
解法三　设点P的坐标为(xP,yP),因为|OP|=2,则xP2+yP2=4,把yP2=4-xP2代入双曲线方程得|yP|=32,所以S△PF1F2=12|F1F2|·|yP|,由题意可知|F1F2|=4,所以S△PF1F2=12×4×32=3.故选B.
【真题互鉴】　本题与2019年全国卷Ⅲ(文)T10的已知和所求相似,解题思维一样,因此在平时训练中应重视真题的训练.
附:[2019全国卷Ⅲ,10,5分][文]已知F是双曲线C:x24-y25=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OPOF|,则△OPF的面积为(　B　)
A.32 B.52 C.72 D.92
2.D　解法一　由题知y2=4x的焦点坐标为(1,0),则过焦点和点(0,b)的直线方程为x+yb=1,而x2a2-y2b2=1的渐近线方程为xa+yb=0和xa-yb=0,由l与一条渐近线平行,与一条渐近线垂直,得a=1,b=1,故选D.
解法二　由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直,则a=b,即渐近线方程为x±y=0,排除B,C.又知y2=4x的焦点坐标为(1,0),l过点(1,0),(0,b),所以b-00-1=-1,b=1,故选D.
3.A　不妨设A在第一象限,将x=c代入y=bax得A(c,bca),
所以tan∠F1AF2=2cbca=2ab∈[tanπ6,tanπ4],即33≤2ab≤1,
即13≤4a2b2≤1⇒1≤b24a2≤3⇒1≤c2-a24a2≤3⇒1≤14e2-14≤3⇒5≤e2≤13⇒5≤e≤13.故选A.