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2022版高考数学大一轮复习 解题思维8 高考中概率、统计解答题的提分策略备考试题

2022版高考数学大一轮复习 解题思维8 高考中概率、统计解答题的提分策略备考试题

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解题思维8　高考中概率、统计解答题的提分策略

1.[2021大庆实验中学模拟,12分]为了普及法律知识,达到“法在心中”的目的,某市组织了普法知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩(单位:分),成绩如下表所示:
甲单位5名职工的成绩
87
88
91
91
93
乙单位5名职工的成绩
86
87
91
92
94
(1)根据表中的数据,分别求出甲、乙两个单位5名职工成绩的平均数和方差.
(2)用简单随机抽样的方法从乙单位5名职工的成绩中抽取2名职工的成绩,求抽取的2名职工的成绩差至少是4分的概率.

2.[2020吉林长春实验中学测试,12分]通常用PM 2.5的值表示空气的污染情况,PM 2.5的值越高,空气污染就越严重,下表是某公园中参加室外锻炼的人数y与PM 2.5的值x的一些数据.
x
110
100
80
60
50
y/人
90
95
100
105
110
(1)请用相关系数r(精确到0.01)说明y与x之间具有什么样的相关关系;
(2)根据上表提供的数据,估计当PM 2.5的值为40时该公园中参加室外锻炼的人数;
(3)将表格中的数据看作五个点的坐标(xj,yj)(j=1,2,…,5),从这五个点中任意抽取两个点,求这两个点都在圆(x-80)2+(y-90)2=100外的概率.
参考公式:r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2=∑i=1nxiyi-nxy(∑i=1nxi2-nx2)(∑i=1nyi2-ny2);
线性回归方程y＾=b^x+a＾中,b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a＾=yb^x.
参考数据:∑i=15xIyI=39 200,∑i=15xi2=34 600,∑i=15yi2=50 250,26≈5.10,250≈15.81.

3.[条件创新,12分]某企业销售部门为了解员工的销售能力,按性别利用分层抽样的方法从该部门现有员工中(其中男生占比为45%)随机抽取n名进行问卷调查,并将得分分为1,2,3,4,5五个档次,各档次中参与问卷调查的员工人数如条形图8-1所示.已知第5档的员工人数占总人数的15.

图8-1
(1)若将某员工得分所在的档次作为该员工销售的能力基数x0(记能力基数x0=5为能力基数高,其他均为能力基数不高),在能力基数为5的员工中,女生与男生的比例为7∶3,以抽取的n名员工为研究对象,完成下面的2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为能力基数高低与性别有关.

男生
女生
合计
能力基数高

能力基数不高

合计

(2)为提高员工认知并调动员工自主学习的积极性,部门组织员工参加各种形式的培训讲座.已知每位员工的销售能力指数y、能力基数x0以及参加培训的次数t满足函数关系式y=x0+(1+x0)(1+et15),如果员工甲的能力基数为4,员工乙的能力基数为2,则在甲不参加培训的情况下,乙至少参加多少次培训,其销售能力指数超过甲?
参考数据及参考公式:ln 3≈1.099,K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.01
k0
2.072
2.706
3.841
6.635

4.[2021湖南省六校联考,12分]随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高,某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据,以5年为一个研究周期,得到机动车每5年纯增数量(单位:万辆)的情况如下表.
年度周期
1995~2000
2000~2005
2005~2010
2010~2015
2015~2020
时间变量xI
1
2
3
4
5
纯增数量yI/万辆
3
6
9
15
27
其中i=1,2,3,…,时间变量xI对应的机动车纯增数量为yI,且通过数据分析得到时间变量x与对应的机动车纯增数量y(单位:万辆)具有线性相关关系.
(1)求机动车纯增数量y关于时间变量x的回归方程,并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值;
(2)该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况,随机采访了220名市民,将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计,得到的2×2列联表如下表.

赞同限行
不赞同限行
合计
没有私家车
90
20
110
有私家车
70
40
110
合计
160
60
220
根据列联表判断,能否有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关?
附:回归直线y＾=b^x+a＾的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2=∑i=1nxiyi-nx·y∑i=1nxi2-nx2,a＾=y-b^x.
K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5024
6.635
7.879
10.828

答 案
　解题思维8　高考中概率、统计解答题的提分策略
1.(1)x甲=87+88+91+91+935=90,x乙=86+87+91+92+945=90,(2分)
s甲2=15×[(87-90)2+(88-90)2+(91-90)2+(91-90)2+(93-90)2]=245,(4分)
s乙2=15×[(86-90)2+(87-90)2+(91-90)2+(92-90)2+(94-90)2]=465.(6分)
(2)从乙单位5名职工的成绩中抽取2名职工的成绩,所包含的基本事件有{86,87},{86,91},{86,92},{86,94},{87,91},{87,92},{87,94},{91,92},{91,94},{92,94},共10个.(8分)
设“从乙单位抽取的2名职工的成绩差至少是4分”为事件M,则M所包含的基本事件有{86,91},{86,92},{86,94},{87,91},{87,92},{87,94},共6个.(10分)
所以P(M)=610=35,即从乙单位抽取的2名职工的成绩差至少是4分的概率为35.(12分)
2.(1)x=15×(110+100+80+60+50)=80,
y=15×(90+95+100+105+110)=100,r=∑i=15xiyi-5xy(∑i=15xi2-5x 2)(∑i=15yi2-5y 2)=39200-5×80×100(34600-5×802)×(50250-5×1002)=-8002600×250≈-0.99,
所以y关于x之间具有较强的负相关关系.(4分)
(2)b^=∑i=15xiyi-5xy∑i=15xi2-5x 2=39200-5×80×10034600-5×802=-8002600≈-0.31,
a＾=y-b^x=100+0.31×80=124.8.
所以y关于x的线性回归方程为y＾=-0.31x+124.8.
当x=40时,y＾=-0.31×40+124.8=112.4≈112.
所以估计当PM 2.5的值为40时该公园中参加室外锻炼的人数为112人.(8分)
(3)易知五个点中,只有点(80,100)(记为点A)在圆上,其余四个点(分别记为点B,C,D,E)都在圆外,
所以从这五个点中任意抽取两个点,基本事件有{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共10个.
两个点都在圆外包含的基本事件为{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共6个.所以所求概率P=610=35.(12分)
3.(1)由已知及条形图,可得1n(8+16+22+34)=1-15得n=100,(2分)
补全2×2列联表如下表所示.

男生
女生
合计
能力基数高
6
14
20
能力基数不高
39
41
80
合计
45
55
100
(4分)
K2的观测值k=100×(6×41-39×14)245×55×80×20≈2.273<2.706,(5分)
所以没有90%的把握认为能力基数高低与性别有关.(6分)
(2)员工甲的销售能力指数y=4+(1+4)(1+e015)=14.(7分)
员工乙参加t次培训后的销售能力指数y=2+(1+2)(1+et15)=2+3(1+et15),(8分)
由已知得2+3(1+et15)>14,即et15>3,(9分)
t15>ln 3,t>15ln 3,t>16.485,(11分)
所以乙至少参加17次培训,其销售能力指数超过甲.(12分)
4.(1)由机动车的纯增数量表可知
x=15(1+2+3+4+5)=3,y=15(3+6+9+15+27)=12,
∑i=15xiyi=1×3+2×6+3×9+4×15+5×27=237, (2分)所以b^=∑i=15xiyi-5x·y∑i=15xi2-5x2=237-5×3×12(12+22+32+42+52)-5×32=5755-45=5.7,(4分)
因为回归直线y＾=b^x+a＾过样本点的中心(x,y),所以12=5.7×3+a＾,
解得a＾=-5.1,所以y＾=5.7x-5.1.(6分)
当年度周期为2025~2030时,x=7,所以y＾=5.7×7-5.1= 34.8,
所以2025~2030年间该市机动车约纯增34.8万辆.(8分)
(2)根据列联表,计算得K2的观测值k=220×(90×40-20×70)2110×110×160×60=556≈9.167,(10分)
因为9.167>6.635,
所以有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关.(12分)