2022届高考数学统考一轮复习-微专题圆与一些知识的交汇学案新人教版.docx

2022届高考数学统考一轮复习 微专题圆与一些知识的交汇学案新人教版

2022届高考数学统考一轮复习 微专题圆与一些知识的交汇学案新人教版

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微专题(二十七)　圆与一些知识的交汇
[例]　(1)已知m＝(2cos α，2sin α)，n＝(3cos β，3sin β)，若m与n的夹角为60°，则直线xcos α－ysin α＋＝0与圆(x－cos β)2＋(y＋sin β)2＝的位置关系是(　　)
A．相交　B．相交且过圆心
C．相切 D．相离
(2)集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2，r＞0}，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值为__________．
解析：(1)由向量的夹角公式得cos〈m，n〉＝＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝，圆心(cos β，－sin β)到直线的距离d＝＝1＞，
∴直线与圆相离．
(2)∵A∩B中有且仅有一个元素，∴两圆x2＋y2＝4，(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切．当两圆内切时，5＝|r－2|，∴r＝7；当两圆外切时，5＝|r＋2|，∴r＝3.
答案：(1)D　(2)7或3
名师点评
1．直线、圆与其他知识的交汇成为高考的热点，本例是直线、圆、平面向量与三角函数的交汇，直线、圆还经常与不等式、集合等知识交汇．
2．解决此类创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，将问题转化为熟知的问题解决．
[变式练]　在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________．

微专题(二十七)
变式练
解析：解法一　设A(a,2a)，a>0，则C，
∴圆C的方程为2＋(y－a)2＝＋a2，

得
∴·＝(5－a，－2a)·＝＋2a2－4a＝0，∴a＝3或a＝－1，又a>0，∴a＝3，∴点A的横坐标为3.
解法二　由题意易得∠BAD＝45°.

设直线DB的倾斜角为θ，则tan θ＝－，
∴tan∠ABO＝－tan(θ－45°)＝3，
∴kAB＝－tan∠ABO＝－3.
∴AB的方程为y＝－3(x－5)，
由得xA＝3.
答案：3