高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题及解析.doc

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高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题

一、选择题
1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为(　 　)
A. B. C. 或 D. 或
2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为 (　 　)
A．75° B．60° C．45° D．30°
3．(2010·上海高考)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC (　 　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 (　 　)
A. B. C. D.
5．(2010·湖南高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝
a，则 (　 　)
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a与b大小不能确定
二、填空题
6．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知a＝，b＝3，C＝30°，则A＝________.
7．(2010·山东高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2sin B＋cos B
＝，则角A的大小为________．
8．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为
________．
三、解答题
9．△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2－c2＝2b，且sin B＝4cos Asin C，求b.

10．在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab.
（1）求角C的大小；
（2）又若sin Asin B＝，判断△ABC的形状．

11．(2010·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，
且S＝(a2＋b2－c2)．
（1）求角C的大小；
（2）求sin A＋sin B的最大值．

答案及解析
1．【解析】由余弦定理cos B＝，由a2＋c2－b2＝ac，∴cos B＝，又0＜B＜π，∴B＝.
【答案】A
2．【解析】S△ABC＝×3×4sin C＝3，∴sin C＝. ∵△ABC是锐角三角形，∴C＝60°.
【答案】B
3．【解析】由sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，得a∶b∶c＝5∶11∶13，不妨令a＝5，b＝11，c＝13.
∴c2＞a2＋b2＝52＋112＝146，∴c2＞a2＋b2，根据余弦定理，易知△ABC为钝角三角形．
【答案】C
4．【解析】不妨设底面边长为1，则两腰长的和为4，一个腰长为2，由余弦定理得顶角的余弦值为
＝.
【答案】D
5．【解析】∵∠C＝120°，c＝a，∴由余弦定理，得(a)2＝a2＋b2－2abcos 120°，故ab＝a2－b2＝
(a－b)(a＋b)＞0，∴a－b＞0，故a＞b.
【答案】A
6．【解析】∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝3，∴c＝，∴a＝c，则A＝C＝30°.
【答案】30°
7．【解析】∵sin B＋cos B＝sin(B＋)＝，∴sin(B＋)＝1，∴B＝. 又＝，得sin A＝，
A＝.
【答案】
8．【解析】∵A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，∴2B＝A＋C，∴B＝，又BD＝BC＝2，
∴在△ABD中，AD＝＝.
【答案】
9．【解析】法一　∵sin B＝4cos Asin C，由正弦定理，得＝4cos A，∴b＝4ccos A，由余弦定理
得b＝4c·，∴b2＝2(b2＋c2－a2)，∴b2＝2(b2－2b)，∴b＝4.
法二　由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccos A，∵a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2ccos A＋2，①
由正弦定理，得＝，又由已知得，＝4cos A，∴b＝4ccos A．②
解①②得b＝4.
10．【解析】(1)由题设得a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝＝，又C∈(0，π)，∴C＝.
(2)由(1)知A＋B＝π，∴cos(A＋B)＝－，即cos Acos B－sin Asin B＝－. 又sin Asin B＝，
∴cos Acos B＝－＝，从而cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B＝1，由A，B∈(0，π)，∴A－B＝0，即A＝B，从而△ABC为等边三角形．
11．【解析】(1)由题意可知absin C＝·2abcos C，所以tan C＝. 因0＜C＜π，故C＝.
(2)由已知sin A＋sin B＝sin A＋sin(π－C－A)＝sin A＋sin(－A)＝sin A＋cos A＋sin A
＝sin(A＋)，∵C＝，∴0＜A＜，∴＜A＋＜，∴当A＋＝，即A＝时，sin(A＋)
取最大值. ∴sin A＋sin B的最大值为.

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