2、2)的最小值为4;
③“x>0且y>0”是“xy+yx≥2”的充要条件;
④若a>0,则a3+1a2的最小值为2a;
⑤不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab有相同的成立条件.
A.0 B.1 C.2 D.3
3.[2020天津,14,5分]已知a>0,b>0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为 .
4.[2019天津,13,5分]设x>0,y>0,x+2y=5,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 .
5.[2017 江苏,10,5分]某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与
3、总存储费用之和最小,则x的值是 .
拓展变式
1.(1)[2020江苏,12,5分]已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 .
(2)[2017 山东,12,5分][文]若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .
2.[2020安徽合肥二模]若a+b≠0,则a2+b2+1(a+b)2的最小值为 .
答 案
第七章 不等式
第三讲 基本不等式
1.B 因为00,所以b>a+b2;由基本不
4、等式知a+b2>ab.综上所述,a0,b>0时才成立,故⑤错误.选A.
3.4 依题意得12a+12b+8a+b=a+b2ab+8a+b=a+b2+8a+b≥2a+b2×8a+b=4,当且仅当a>0,b>0,ab=1,a+b2=8a+b,即ab=1,a+b=4时取等号.因此1
5、2a+12b+8a+b的最小值为4.
4.43 因为x+2y=5,x>0,y>0,所以(x+1)(2y+1)xy=2xy+2y+x+1xy=2xy+6xy=2xy+6xy≥22xy·6xy=212=43,当且仅当x+2y=5,2xy=6xy,即x=3,y=1,或x=2,y=32时取等号,故原式取得的最小值为43.
5.30 一年购买 600x 次,则总运费与总存储费用之和为600x×6+4x=4(900x+x)≥8900x·x=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
1.(1)45 解法一 由5x2y2+y4=1得x2=15y2-y25,则x2
6、y2=15y2+4y25≥215y2·4y25=45,当且仅当15y2=4y25,即y2=12时取等号,则x2+y2的最小值是45.
解法二 4=(5x2+y2)·4y2≤[(5x2+y2)+4y22]2=254(x2+y2)2,则x2+y2≥45,当且仅当5x2+y2=4y2=2,即x2=310,y2=12时取等号,则x2+y2的最小值是45.
(2)8 ∵直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),∴1a+2b=1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)(1a+2b)=4+ba+4ab≥4+2ba·4ab=8,当且仅当ba=4ab和1a+2b=1同时成立,即a=2,b=4
7、时等号成立,∴2a+b的最小值为8.
2.2 解法一 因为2ab≤a2+b2,所以(a+b)2≤2(a2+b2).
由a+b≠0,知a2+b2+1(a+b)2≥a2+b2+12(a2+b2)≥212=2,
当且仅当a=b且a2+b2=12(a2+b2),即a=b=±418时两个等号同时成立.故a2+b2+1(a+b)2的最小值为2.
解法二 因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2,
所以a2+b2≥(a+b)22,
所以a2+b2+1(a+b)2≥(a+b)22+1(a+b)2≥212=2,
当且仅当a=b且(a+b)22=1(a+b)2,即a=b=±418时两个等号同时成立.故a2+b2+1(a+b)2的最小值为2.
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