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鸡兔同笼问题的解法集锦
鸡兔同笼问题是中国古代著名的数学问题。那是已知鸡兔的总头数和总足数，求鸡兔各有多少只的一类典型应用题（本博前面曾多次介绍，为便于阅读在本文最后加了链接，有兴趣可点击查看）。它的题型虽然固定，但解题思路方法却多种多样，如假设法、削补法、转化法、分组法、盈亏法、倍比法、设零法、代数法等等，且解法还在不断创新。下面举一例给出几种解法供参考。    
例:鸡兔同笼，上有40个头，下有100只足。鸡兔各有多少只？  
1、极端假设
解法一：假设40个头都是鸡，那么应有足2×40=80（只）,比实际少100—80=20（只）。这是把兔看作鸡的缘故。而把一只兔看成一只鸡,足数就会少4-2=2（只）。因此兔有20÷2=10（只），鸡有40-10=30(只）。
解法二：假设40个头都是兔，那么应有足4×40=160（只),比实际多160—100=60（只）。这是把鸡看作兔的缘故.而把一只鸡看成一只兔,足数就会多4-2=2（只)。因此鸡有60÷2=30（只）,兔有40—30=10（只）。
解法三：假设100只足都是鸡足，那么应有头100÷2=50（个)，比实际多50—40=10(个）。把兔足看作鸡足，兔的只数（头数）就会扩大4÷2倍,即兔的只数增加（4÷2-1）倍。因此兔有10÷（4÷2-1）=10（只），鸡有40-10=30（只）。
解法四：假设100只足都是兔足，那么应有头100÷4=25(个），比实际少40-25=15(个）。把鸡足看作兔足，鸡的只数(头数）就会缩小4÷2倍，即鸡的只数减少1-1÷（2÷4）=1/2。因此鸡有15÷1/2=30（只），兔有40-30=10（只）.
2、任意假设
解法五：假设40个头中,鸡有12个（0至40中的任意整数），则兔有40—12=28（个）,那么它们一共有足2×12+4×28=136（只），比实际多136-100=36(只）。这说明有一部分鸡看作兔了，而把一只鸡看成一只兔，足数就会多4-2=2（只)，因此把鸡看成兔的只数是36÷2=18（只)。那么鸡实际有12+18=30（只），兔实际有28—18=10（只）。
解法六:假设100只足中,有鸡足80只(0至100中的任意整数，最好是2的倍数）,则兔足有100-80=20（只），那么它们一共有头80÷2+20÷4=45（个），比实际多45-40=5（个）。这说明把一部分兔足看作鸡足了,而把兔足看成鸡足，兔的只数（头数）就会增加（4÷2-1）倍。因此把兔看作鸡的只数是5÷（4÷2—1）=5（只），那么兔实际有20÷4+5=10（只)，鸡实际有40-10=30（只).
通过比较可知：任意假设是极端假设的一般形式，而极端假设是任意假设的特殊形式，也是简便解法。
3、除减法
解法七:用脚的总数除以2，也就是100÷2=50(只）。这里我们可以设想为，每只鸡都是一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.这样在50这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从50减去总头数40，剩下的就是兔子头数10只。有10只兔子当然鸡就有30只。
这种解法就是《孙子算经》中记载的:做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！
 4、盈亏法
解法八：把总足数100看作标准数。假设鸡有25只，兔则有40—25=15（只），那么它们有足2×25+4×15=110（只），比标准数盈余110-100=10（只）;再假设鸡有32只,兔则有40-32=8（只），那么它们有足2×324×8=96（只),比标准数不足100—96=4(只）.根据盈不足术公式，可以求出鸡的只数。即鸡有(25×4+32×10）÷（4+10）=30(只），兔则有40-30=10(只)。
5、比例分配
解法九：40个头一共100只足，平均每个头有足100÷40=2。5(只）。而一只鸡比平均数少(2.5—2)只足,一只兔比平均数多（4-2.5）只足。根据平均问题的“移多补少”思想：超出总数等于不足总数，故知：（2。5-2）×鸡的只数=（4—2.5）×兔的只数。因此，
鸡的只数︰兔的只数=(4-2。5)︰（2.5-2）=1.5︰0。5=3︰1
按比例分配可以求出鸡兔各有多少只。即鸡有40×3/3+1）=30(只）,而兔则有40×1/（3+1）=10（只）。
6、布列方程
解法十：设鸡有x只，那么兔有（40-x）只。根据题意列方程：
2x+4(40-x）=100
解这个方程得：x=30  40-x=40—30=10那么鸡有30只,兔有10只。
 鸡兔的头数关系除了“和”的形式外，还可以把“差"和“倍数”作为已知条件.同样，鸡兔的足数关系除了“和”的形式外，也可以把“差”和“倍数”作为已知条件.如果把鸡兔头数关系的三种条件与足数关系的三种条件交叉组合，除了上面的例题,还可以形成以下变式练习题。
1、鸡兔同笼，它们一共有100只，而鸡足比兔足多80只。鸡兔各有多少只?
2鸡兔同笼，它们一共有84只,而鸡足是兔足的3倍。鸡兔各有多少只？
3、鸡兔同笼,鸡比兔多26只，它们一共有274只足.鸡兔各有多少只？
4、鸡兔同笼，鸡比兔多3只，兔比鸡多28只足。鸡兔各有多少只？
5、鸡兔同笼，鸡比兔少10只，兔足是鸡足的3倍。鸡兔各有多少只？
6、鸡兔同笼，鸡的只数是兔的3倍,它们一共有120只足。鸡兔各有多少只？
7、鸡兔同笼，鸡的只数是兔的3倍,鸡足比兔足多120只.鸡兔各有多少只？
8、鸡兔同笼，鸡比兔的3倍多6只，鸡足比兔足的2倍少24只。鸡兔各有多少只？
附:  鸡兔同笼变式题组的参考答案
以上题组，每道题都有多种解法。下面提供的仅仅是参考答案其思想方法，还需要读者作进一步的探讨明晰。
1、解一：(2×100-80）÷（4+2）=20（只）---—(兔）
解二：（4×100+80)÷(4+2）=80（只)--——（鸡）
解三：(100-80÷2)÷（4÷2+1）=20（只）--——（兔）
解四：（100+80÷4）÷(4÷2+1)-80÷4=20（只）-——-（兔）
2、解一:84÷(4×3÷2+1）=12（只）-——-（兔）
   解二：2×84÷（4×3+2)=12（只）——--（兔)
3、解一：(274—2×26)÷（4+2)=37（只)--—-（兔）
   解二：（274+4×26）÷(4+2）=63（只）—---(鸡）
   解三：（274÷2-26）÷(4÷2+1）=37(只）--—-（兔)
4、解一：(28+2×3)÷（4-2）=17（只）-——-(兔）
   解二:(28+4×3）÷（4-2）=20（只)--—-（鸡)
   解三：（3+28÷2）÷（4÷2—1）=17(只）----（兔)
   解四：(3+28÷4）÷（1—2÷4）=20（只）—-—-（鸡）
5、解一：10÷(2×3÷4-1）=20(只）———-(鸡)
   解二：4×10÷（3-2）÷2=20（只）-—--(鸡）
6、解一：120÷（4+2×3）=12（只）----（兔）
   解二：120÷(2×3÷4+1）÷4=12（只）--—-（兔）
7、解一：120÷(2×3-4）=60（只）-——-（兔）
解二：120÷2÷（3—2）=60(只）-——-（兔）
解三:120÷4×3÷（3—2)—120÷4=60（只）----（兔)
8、解一：(24÷2+6）÷(2×2—3)=18（只）---—(兔）
解二：（6×2+24）÷（2—3÷2)÷4=18（只）-—--（兔）

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