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五种常见的屈服准则及其适用范围
屈服准则表示在复杂应力状态下材料开始进入屈服的条件，它的作用是控制塑性变形的开始阶段。屈服条件在主应力空间中为屈服方程。
1.几种常用的屈服准则
五种常用的屈服准则，它们分别是Tresca准则，Von-Mises准则 ，Mnhr- Coulomb准则，Drucker Prager准则，Zienkiewicz-Pande准则。其中后三种适用于混凝土和岩土材料的准则
1.1 Tresca屈服准则
当最大剪应力达到一定数值时，材料开始屈服。这就是Tresca屈服条件，也称为最大剪应力条件。
规定时，上式可表示为：
如果不知道的大小顺序，则屈服条件可写为:

换言之当变形体或质点中的最大切应力达到某一定值时，材料就发生屈服。或者说，材料处于塑性状态时，其最大切应力是一个不变的定值，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。所以Tresca屈服准则又称为最大切应力不变条件。
这种模型与静水压力无关，也不考虑中间应力的影响。在平面上屈服条件为一个正六边形，在主应力空间内，屈服曲面为一个正六面柱体。
Tresca屈服准则不足之处就是不包含中间主应力，没有反映中间主应力对材料屈服的影响。
1.2 Mises屈服准则
当与物体中的一点应力状态对应的畸变能达到某一极限值时，该点便产生屈服，其表达式为或　　　　
其中， 为常数，可根据简单拉伸试验求得，或根据纯剪切试验来确定， 它所代表的屈服面是一个以空间对角线为轴的圆柱体，在平面上屈服条件是一个圆。这时有: 换言之当等效应力达到定值时，材料质点发生屈服，该定值与应力状态无关。或者说，材料处于塑性状态时，其等效应力是不变的定值，该定值取决于材料变形时的性质，而与应力状态无关。Mises屈服准则的物理意义：当材料的单位体积形状改变的弹性能达到某一常数时，质点就发生屈服。故Mises屈服准则又称为能量准则。
1.3 Mnhr Coulomb准则
Tresca屈服条件和Mises屈服条件主要是对金属材料成立的两个屈服条件，但是这两个屈服条件如果简单地应用于岩土材料，会引起不可忽视的偏差。
针对此，Mohr提出这样一个假设：当材料某个平面上的剪应力达到某个极限值时，材料发生屈服。这也是一种剪应力屈服条件，但是与Tresca屈服条件不同，Mohr假设的这个极限值不是一个常数值，而是与该平面上的正应力有关，它可以表示为
上式中，是材料粘聚强度，是材料的内摩擦角。这个函数关系式可以通过实验确定。一般情况下，材料的内摩擦角随着静水应力的增加而逐渐减小，因而假定函数对应的曲线在平面上呈双曲线或抛物线或摆线。但在静水应力不大的情况下，屈服曲线常用等于常数的直线来代替，它可以表示为
上式就称为Mohr—Coulomb屈服条件。
设主应力大小次序为，则上式可以写成用主应力表示的形式

1.4 Drucker Prager准则
Drucker-prager屈服准则是对Mohr-Coulomb准则的近似，它修正了Von Mises 屈服准则，即在Von Mises表达式中包含一个附加项。其屈服面并不随着材料的逐渐屈服而改变，因此没有强化准则, 塑性行为被假定为理想弹塑性，然而其屈服强度随着侧限压力(静水应力)的增加而相应增加，另外，这种材料考虑了由于屈服而引起的体积膨胀，但不考虑温度变化的影响。故此材料适用于混凝土、岩石和土壤等颗粒状材料。
在主应力空间中,D-P屈服面为一曲面，其表达式为：

上式：为塑性势函数，为应力张量第一不变量，为应力偏张量第二不变量，，k为材料常数，是材料c，的函数，c分别为材料的粘聚力和内摩擦角。
1.5 Zienkiewicz-Pande准则
Zienkiewicz-Pande 屈服准则是 Mohr-Coulomb 准则的改进，在 p-q 子午面和 π 平面上都是光滑曲线，不存在尖点，在数值迭代计算过程中易于处理，而且在一定程度上考虑了屈服曲线与静水压力的关系以及中主应力σ。是由Zienkiewicz、Pande 等学者在1977 年对 M-C 准则进行了修正与推广时，形成了具有 3 种曲线形式的 Zienkiewicz-Pande 准则（简称 Z-P 准则）。这主要是考虑到M-C 准则在角点处存在奇异性，即其屈服曲线在 π 平面上有尖点，使得计算过程中出现奇异，特别在有限元迭代过程中，在尖角处无法处理的问题。

2.常用的屈服准则的优缺点及其适用范围
2.1Tresca准则
优点：当知道主应力的大小顺序，应用简单方便
缺点：（1）没有考虑正应力和静水压力对屈服的影响。
（2）屈服面有转折点，棱角，不连续
适用：金属材料
2.2 Mises屈服准则
优点：（1）考虑了中主应力对屈服和破坏的影响
（2）简单实用，材料参数少，易于实验测定
（3）屈服曲面光滑，没有棱角，利于塑性应变增量方向的确定和数值计算
缺点：（1）没有考虑静水压力对屈服的影响
（2）没有考虑单纯静水压力p对岩土类材料屈服的影响及屈服与破坏的非线性特性
（3）没有考虑岩土类材料在偏平面上拉压强度不同的S-D效应
适用：金属材料
2.3 Mohr-Coulomb屈服准则
优点：（1）反映岩土类材料的抗压强度不同的S-D效应对正应力的敏感性，
（2）反映了静水压力三向等压的影响，
（3）简单实用，参数简单易测。
缺点：（1）没有反映中主应力对屈服和破坏的影响
（2）没有考虑单纯静水压力引起的岩土屈服的特性
（3）屈服面有转折点，棱角，不连续，不便于塑性应变增量的计算。
适用范围：岩石、土和混凝土材料
2.4 Drucker-Prager屈服准则
优点：（1）考虑了中主应力对屈服和破坏的影响
（2）简单实用，材料参数少，可以由C-M准则材料常数换算
（3）屈服曲面光滑，没有棱角，利于塑性应变增量方向的确定和数值计算
（4）考虑了静水压力对屈服的影响
（5）更符合实际
缺点：（1）没有考虑单纯静水压力p对岩土类材料屈服的影响及屈服与破坏的非线性特性
（2）没有考虑岩土类材料在偏平面上拉压强度不同的S-D效应
适用范围：岩石、土和混凝土材料
2.5 Zienkiewice-Pande准则
优点：（1）三种曲线在子午面上都是光滑曲线，利于数值计算
（2）在一定程度上考虑了屈服曲线与静水压力的非线性关系
（3）在一定程度上考虑了中主应力对屈服和破坏的影响
适用范围：岩石、土和混凝土材料

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