高考数学试题汇编：第章直线和圆的方程第节线性规划.doc

第七章 直线和圆的方程
二 线性规划
【考点阐述】
用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．
【考试要求】
（3）了解二元一次不等式表示平面区域．
（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．
【考题分类】
（一）选择题（共15题）
1.（安徽卷文8）设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是
（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
【答案】.C
【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是，目标函数在取最大值6。
【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
2.（北京卷理7）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
（A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
【答案】A．
解析：这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域D的图象，联系指数函数的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点（2,9时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
3.（福建卷理8）设不等式组所表示的平面区域是，平面区域与关于直线对称。对于中的任意点与中的任意点，的最小值等于謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。
A． B．4 C． D．2
【答案】B
【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，厦礴恳蹒骈時盡继價骚。
可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为
，所以选B。
【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
4.（福建卷文5）设x,y,且,则的最小值等于( )
A.2 B.3 C.5 D.9
【答案】B
【解析】画出不等式表示的平面区域如图阴影所示，
当直线过点（1，1）时，取得最小
值3，故选B。
【命题意图】本题考查不等式中的线性规划，在线性约束条件下求目标函数的最值问题，考查同学们数形结合的数学思想。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。
5.（全国Ⅰ卷理3文3）若变量满足约束条件则的最大值为
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。
.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.
【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为.

x
A
L0

A

6.（全国Ⅰ新卷文11）已知ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。
（A）（-14，16） （B）（-14，20） （C）（-12，18） （D）（-12，20）渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。
【答案】B
解析：由已知条件得，由得，所以当直线经过点B（3，4）时，最大，即取最小为；当直线经过点D（0，）时，最小，即取最大为20，又由于点在四边形的内部，故．铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。
7.（全国Ⅱ卷理3文5）若变量满足约束条件则的最大值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.
【解析】可行域是由构成的三角形，可知目标函数过C时最大，最大值为3，故选C.
8.（山东卷理10）设变量x、y满足约束条件,则目标函数z=3x－4y的最大值和最小值分别为
（A）3，－11 （B) －3, －11 (C)11, －3 (D)11,3贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。
【答案】A
【解析】画出平面区域如图所示：
可知当直线平移到点（5，3）时，目标函数取得最大值3；当直线平移到点（3，5）时，目标函数取得最小值-11，故选A。坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。
【命题意图】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数的几何意义是解答好本题的关键。蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。
9.（上海卷文15）满足线性约束条件的目标函数
的最大值是（ ）
（A）1. （B）. （C）2. （D）3.
解析：当直线过点B(1,1)时，z最大值为2
10.（四川卷理7文8）某加工厂用某原料由车间加工出产品，由乙车间加工出产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克产品，每千克产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克产品，每千克产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。
（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
y
0
x
70
48
80
70
(15,55)
（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱
则
目标函数z＝280x＋300y
结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大
本题也可以将答案逐项代入检验.
答案：B
11.（天津卷文2）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+2y的最大值为
（A）12 （B）10 （C）8 （D）2
【答案】B
【解析】画出平面区域可知，当直线z=4x+2y经过点（2，1）时，目标函数z=4x+2y取得最大值10，故选B。綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。
【命题意图】本题考查不等式中的线性规划知识，考查数形结合的数学思想。
12.（浙江卷理7）若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数
（A） （B） （C）1 （D）2
解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。
13.（浙江卷文7）若实数x,y满足不等式组合 ，则x+y的最大值为
（A）9 （B） （C）1 （D）
解析：将最大值转化为y轴上的截距，可知答案选A，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。
14.（重庆卷理4）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为
A.—2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
解析：不等式组表示的平面区域如图所示
当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值6.
15.（重庆卷文7）设变量满足约束条件则的最大值为
（A）0 （B）2 （C）4 （D）6
【答案】C
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，
当直线过点B时，在y轴上截距最小，z最大
由B（2,2）知4
（二）填空题（共6题）
1.（安徽卷理13）设满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为________。
【答案】4
【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是
，易见目标函数在取最大值8，
所以，所以，在时是等号成立。所以的最小值为4.
【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得，要想求的最小值，显然要利用基本不等式.锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。
2.（北京卷文11）若点p（m，3）到直线的距离为4，且点p在不等式＜3表示的平面区域内，则m = 。構氽頑黉碩饨荠龈话骛。
3.（湖北卷理12文12）已知，式中变量，满足约束条件，则的最大值为___________.
【答案】5
【解析】依题意，画出可行域（如图示），
则对于目标函数y=2x-z，
当直线经过A（2，－1）时，
z取到最大值，.
4.（辽宁卷理14文15）已知且，则的取值范围是_______（答案用区间表示）
5.（陕西卷理14）铁矿石A和B的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：輒峄陽檉簖疖網儂號泶。

a
B(万吨)
C（百万元）
A
50％
1
3
B
70％
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为 （万元）尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。
【答案】15
【解析】设铁矿石购买了万吨，铁矿石购买了万吨，购买铁矿石的费用为百万元，则由题设知，本题即求实数满足约束条件，即（*）时，的最小值.识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。
作不等式组(*)对应的平面区域，如图阴影部分所示.现让直线，即平移分析即知，当直线经过点时，取得最小值.凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。
又解方程组得点坐标为.
故.
6.（陕西卷文14）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的最大值为 .
【答案】5
（三）解答题（共1题）
1.（广东卷理19文19）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。
解：设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则。
可行域为

即
作出可行域如图所示：
经试验发现，当时，花费最少，为元．

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