方程和不等式总结与经典例题.doc

方程和不等式一、重点、难点提示：1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a0).在解一元二次方程，应按方程特点选择方法，各方法依次为：（1)直接开平方法;（2）配方法；(3）公式法；（4）因式分解法.一元二次方程的求根公式是：x= （b2-4ac0).（注意符号问题）2。解分式方程的基本思想是:将分式方程转化为整式方程，转化的方法有两种：（1)去分母法；（2)换元法。3。一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b2-4ac.当0时,方程有两个不相等的实数根x1= ，x2= ；当=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=- ；当0时，方程没有实数根。4。若一元二次方程ax2+bx+c=0（a0)的两个实数根为x1,x2，则x1+x2= , x1x2= .(注意两根的和是 的相反数）。以x1，x2为根的一元二次方程是x2(x1+x2）x+x1x2=0.5。 不等式的解法: 解一元一次不等式和解一元一次方程类似.不同的是：一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变.6.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表：不等式组 (a2 解不等式 x , 得 x-1。所以不等式组的解集是 2x-1。它在数轴上表示如右图所示。例2。解不等式组 ，并写出不等式组的整数解。说明：求一元一次不等式组的整数解时,先求出不等式组的解集,再按要求取特殊解。解：解不等式3（x+1)4x+2, 得x1。解不等式 , 得x2。所以不等式组的解集是：-2x30。所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票比较合算。例10。某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元;甲、丙两队合做5天完成全部工程的 ,厂家需付甲、丙两队共5500元。（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。分析：本例属工作量为1的工程问题，要注意下列三个关系式：（1）工作效率工作时间=1；（2）工作效率= ；（3)工作时间= 。这类问题的等量关系是：部分工作量之和=1。解：(1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则 解之,得 （2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付b元，丙队做一天应付给c元,则有 解方程组，得 10a=8000(元)，15b=9750(元） 由甲队单独完成此工程花钱最少.答：(1）甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成,丙队单独做30天完成;（2）由甲队单独完成此项工程花钱最少。测试选择题1若一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（ )。 A、4 B、5 C、8 D、6 2不解方程，判断方程2x2+3x-4=0的根的情况是（ ）. A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根3下列方程中有两个不相等的实数根的是（ )。 A、2x2+4x+35=0 B、x2+1=2x C、(x1）2=-1 D、5x2+4x=1 4一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根的条件是（ )。 A、m1 B、m1 C、m1 D、m1 5若关于x的方程2x(mx4）=x26没有实数根，则m所取的最小整数是（ ）。 A、2 B、1 C、1 D、不存在6已知方程x2+3x+m=0的两个根的差的平方是25，则m的值（ )。 A、4 B、-4 C、13 D、8 7以5和3为根的一元二次方程是（ ）。 A、x2-2x15=0 B、x2+2x-15=0 C、x2+2x+15=0 D、x2-2x+15=0 8以方程x2+2x3=0的两个根的和与积为两个根的一元二次方程是（ ）。 A、y2+5y6=0 B、y2+5y+6=0 C、y25y+6=0 D、y25y-6=0 参考答案 答案：1、A 2、B 3、D 4、D 5、A 6、B 7、A 8、B解析:1.分析：已知方程有两个相等的实数根，由一元二次方程根的判别式可得：=42-41k=0, k=4。2。分析：对于方程2x2+3x-4=0来说，=32-42(-4）=9+320. 3.分析：题目要求有两个不相等的实数根，0。 A. 2x2+4x+35=0，=4242350. B. x2+1=2x，注意：利用根的判别式判断方程根的情况，应先将方程化为一元二次方程的一般形式，再用判别式判断。原方程可变形为：x2-2x+1=0，=(-2)2-411=0.C。 (x-1）2=1，完全平方式等于负数方程无解，也可以将方程化成一般形式再用判别式判断。D.5x2+4x=1，原方程可变形为:5x2+4x-1=0,=4245(-1）0。 4.分析：根据题意,得=（-2)241m0， m1.5.分析：原方程可变形为：(2m-1）x2-8x+6=0根据题意,得=(8）24（2m1)60,m ， m的最小整数为2。 6.分析:本题的解题关键是利用根与系数关系建立关于m的方程,设方程的两根分别为x1, x2，根据题意，得x1+x2=-3， x1x2=m， （x1x2）2=x12+x22-2x1x2 =x12+x22+2x1x22x1x22x1x2 =（x1+x2）24x1x2 =（3)2-4m=25, m=4。 7.分析:以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2（x1+x2)x+x1x2=0本题先计算两数之和、两数之积再代入上式写出方程x1+x2=5-3=2x1x2=5（3）=15， 以5，-3为根的一元二次方程为x2-2x-15=0。 8.分析:本题在解答时，应先根据根与系数关系计算出原方程的两根之和、两根之积，从而写出方程。 根据题意两根之和为2，两根之积为-3，所以，以-2和-3为根的方程为：y2+5y+6=0。