等腰三角形性质定理和判定定理.doc

一. 本周教学内容：等腰三角形的性质和判定二. 教学目标：（一）知识与技能：（1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。 （2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。（二）情感态度与价值观：通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。三. 重点、难点：重点是等腰三角形的性质定理和判定定理 难点是利用定理解决实际问题四. 教学过程：（一）知识梳理 知识点1：等腰三角形的性质定理1 （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：如图，在ABC中，因为AB=AC，所以B=C （3）证明：取BC的中点D，连接AD 在ABD和ACD中 ABDACD（SSS）B=C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）符号语言：AB=AC AB=AC AB=AC1=2 ADBC BD=DCADBC，BD=DC 1=2 1=2BD=DC ADBC （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。 说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。 知识3：等腰三角形的判定定理 （1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在ABC中B=C AB=AC （3）证明：过A作ADBC于D，则ADB=ADC=90。 在ABD和ACD中 ABDACD （AAS）AB=AC （4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。 说明：本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。【典型例题分析】基础知识应用题：例1. 如图，已知P、Q是ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求BAC的度数。 解：AP=PQ=AQ（已知）APQ是等边三角形（等边三角形的定义）APQ=AQP=PAQ=60（等边三角形的性质）AP=BP（已知）PBA=PAB（等边对等角）又APQ=PAB+PBA=60PBA=PAB=30同理QAC=30BAC=PAB+PAQ+QAC=30+60+30=120解答此类题的步骤如下：（1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。 （2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解。 例2. 已知：如图，在ABC中，B=C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，DEF=B。求证：DEF是等腰三角形。 证明：B+BDE+BED=180（三角形内角和定理）BED+DEF+FEC=180（平角性质）B=DEF（已知）BDE=FEC（等角的补角相等）在BED和CFE中BDE=FEC中 （已证）BD=CE （已知）B=C （已知）BEDCFE （ASA） DE=EF （全等三角形对应边相等）DEF是等腰三角形 （等腰三角形定义）综合应用题：例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，ABCD，OA=OB，求证：OC=OD 证明：ABCD （已知）A=C，B=D （两直线平行，内错角相等）OA=OB （已知）A=B （等边对等角）C=D （等量代换）OC=OD （等角对等边） 例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，1=2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。证法一：证明：作DEAB于EDA=DBDEABAE=BE=AB=2ACAE=AC在AED和ACD中AEDACDC=AED=90DC与AC的位置关系为：DCAC证法二：证明：延长AC到F，使CF=AC，连结DFAB=2AC，AF=2ACAB=AF在ABD和AFD中ABDAFDDF=DBDA=DBDA=DF又AC=CFDCAF说明：法一是利用了“截长法”即在长线段AB上截取AE=AB法二是利用了“补短法”即在短线段AC上补足AF=AB，从而达到解决问题的目的。例5. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等 解：已知：如图所示，在ABC中，AB=AC，BD，CE是ABC的中线求证：BD=CE证明：BD，CE是ABC的中线AE=AB，AD=ACAB=ACAE=AD在ABD和ACE中ABDACE（SAS）BD=CE（全等三角形的对应边相等） 说明：这是一个证明文字叙述的几何命题的题目，做这类题时首先要分清题设，结论，画出草图，结合图形写出：已知、求证、然后再证明。例6. 如图，点C为线段AB上的一点，ACM，BCN是等边三角形，AN，MC相交于点E，CN与BM相交于点F。（1）求证AN=BM（2）求证CEF为等边三角形证明：（1）ACM，CBN是等边三角形AC=MC，CN=CB，ACM=NCB=60ACN=BCM=120在ACN和MCB中ACNMCB（SAS）AN=BM（2）由（1）中ACNMCBANC=MBC在CEN和CFB中CENCFB（ASA）CECF又ECF60CEF为等边三角形例7. 下面是数学课堂的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，苏老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知，等腰三角形ABC的角A等于30，请你求出其余两角。”同学们经片刻的思考与交流后，李明举手讲：“其余两角30和120，”卫华同学说：“其余两角是75和75”还有一些同学也提出了不同的看法（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）解略【模拟试题】（答题时间：25分钟）1. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数为（ ）A. 60 B. 120 C. 60或150 D. 60或1202. 如图，ABC中AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则A的度数为（ ）A. 30 B. 36 C. 95 D. 703. 如图，ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，那么ABC的大小是 （ ）A. 40 B. 45 C. 50 D. 604. 聪明的小明用含有30角的两个完全相同的三角板拼成如图所示的图案，并发现图中有等腰三角形，请你帮他找出两个等腰三角形： 。5. 如图，一个顶角为40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则1+2= 度。6. 在ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40，则底角B的大小为 。7. 如图，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且DEF是等边三角形（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的。（2）你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到？写出变化过程。【试题答案】1. D 2. B 3. B 4. ABE，BEC或CED5. 220 6. 65或257. 解：（1）图中还有相等的线段 AE=BF=CD，AF=BD=CE （2）线段AE、BF、CD绕ABC的中心按顺时针方向旋转120互相得到线段。AF、BD、CE绕ABC的中心按顺时针方向旋转120互相得到。7 / 7