等腰三角形性质定理和判定定理.doc

一. 本周教学内容：
等腰三角形的性质和判定

二. 教学目标：
（一）知识与技能：
（1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。
    （2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。
（二）情感态度与价值观：
通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。

三. 重点、难点：
重点是等腰三角形的性质定理和判定定理
    难点是利用定理解决实际问题

四. 教学过程：
（一）知识梳理
    知识点1：等腰三角形的性质定理1
   （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
   （2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C

    （3）证明：取BC的中点D，连接AD
              在△ABD和△ACD中

           ∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2：等腰三角形性质定理2
（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）
（2）符号语言：

∵AB=AC            ∵AB=AC             ∵AB=AC
∠1=∠2              AD⊥BC              BD=DC
∴AD⊥BC，BD=DC  ∴∠1=∠2             ∴∠1=∠2
BD=DC                AD⊥BC
    （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。
    说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。
    知识3：等腰三角形的判定定理
    （1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）
（2）符号语言：在△ABC中
∵∠B=∠C     ∴AB=AC

    （3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
     在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD （AAS）
∴AB=AC
    （4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。
    说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。
②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义  2、利用定理。

【典型例题分析】
基础知识应用题：
例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。

    解：∵AP=PQ=AQ（已知）
∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）
∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）
∵AP=BP（已知）
∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）
又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°
∴∠PBA=∠PAB=30°
同理∠QAC=30°
∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°
解答此类题的步骤如下：
（1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。
    （2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解。

  例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。
求证：△DEF是等腰三角形。

    证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）
∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）
∠B=∠DEF（已知）
∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）
在△BED和△CFE中
∠BDE=∠FEC中  （已证）
BD=CE   （已知）
∠B=∠C  （已知）
∴△BED≌△CFE （ASA）
∴DE=EF  （全等三角形对应边相等）
∴△DEF是等腰三角形  （等腰三角形定义）

综合应用题：
例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD

    证明：∵AB∥CD  （已知）
∴∠A=∠C，∠B=∠D  （两直线平行，内错角相等）
∵OA=OB  （已知）
∴∠A=∠B  （等边对等角）
∴∠C=∠D  （等量代换）
∴OC=OD  （等角对等边）

  例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。

证法一：证明：作DE⊥AB于E
∵DA=DB
DE⊥AB
∴AE=BE=
∵AB=2AC
∴AE=AC
在△AED和△ACD中

∴△AED≌△ACD
∴∠C=∠AED=90°
∴DC与AC的位置关系为：DC⊥AC

证法二：证明：延长AC到F，使CF=AC，连结DF
∵AB=2AC，AF=2AC
∴AB=AF
在△ABD和△AFD中

∴△ABD≌△AFD
∴DF=DB
∵DA=DB
∴DA=DF
又∵AC=CF
∴DC⊥AF

说明：法一是利用了“截长法”即在长线段AB上截取AE=AB
法二是利用了“补短法”即在短线段AC上补足AF=AB，从而达到解决问题的目的。

例5. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等
解：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的中线
求证：BD=CE

证明：∵BD，CE是△ABC的中线
∴AE=AB，AD=AC
∵AB=AC
∴AE=AD
在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）
    说明：这是一个证明文字叙述的几何命题的题目，做这类题时首先要分清题设，结论，画出草图，结合图形写出：已知、求证、然后再证明。

例6. 如图，点C为线段AB上的一点，△ACM，△BCN是等边三角形，AN，MC相交于点E，CN与BM相交于点F。
（1）求证AN=BM
（2）求证△CEF为等边三角形

证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形
∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠NCB=60°
∴∠ACN=∠BCM=120°
在△ACN和△MCB中

∴△ACN≌MCB（SAS）
∴AN=BM
（2）由（1）中△ACN≌△MCB
∴∠ANC=∠MBC
在△CEN和△CFB中

∴△CEN≌△CFB（ASA）
∴CE＝CF
又∵∠ECF＝60°
∴△CEF为等边三角形

例7. 下面是数学课堂的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题：
学习等腰三角形有关内容后，苏老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知，等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角。”同学们经片刻的思考与交流后，李明举手讲：“其余两角30°和120°，”卫华同学说：“其余两角是75°和75°”还有一些同学也提出了不同的看法……
（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？
（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）
解略

【模拟试题】（答题时间：25分钟）
1. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（    ）
A. 60°     B. 120°     C. 60°或150°    D. 60°或120°
2. 如图，△ABC中AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（    ）
A. 30°            B. 36°            C. 95°            D. 70°

3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，那么∠ABC的大小是 （    ）
A. 40°          B. 45°           C. 50°          D. 60°

4. 聪明的小明用含有30°角的两个完全相同的三角板拼成如图所示的图案，并发现图中有等腰三角形，请你帮他找出两个等腰三角形：                                   。

5. 如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=           度。

6. 在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的大小为            。
7. 如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF是等边三角形
（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的。
（2）你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到？写出变化过程。

【试题答案】
1. D     2. B    3. B       4. △ABE，△BEC或△CED
5. 220°    6. 65°或25°
7. 解：（1）图中还有相等的线段  AE=BF=CD，AF=BD=CE
（2）线段AE、BF、CD绕△ABC的中心按顺时针方向旋转120°互相得到线段。
AF、BD、CE绕△ABC的中心按顺时针方向旋转120°互相得到。

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