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浅谈几何概型的分类及应用

安阳县第二高级中学分校 张兴洲
摘 要

本文先介绍了几何概型的定义,列举出几何概型的分类并对每种分类作详细阐述,通过实际问题，详细表明其各种分类的具体应用及优点．
关键词:几何概型；几何度量；测度．

Abstract

this article introduced first the geometry generally definition, enumerates the geometry generally classification and makes the detailed elaboration to each kind of classification， through the actual problem, indicates its each kind of classified in detail the concrete application and the merit.
Key word： Geometry generally； Geometry measure; Measure。

目 录

正文—-—-——————-—---———-——-—————-——-—-—-—-——-—--—-—————-—------—-——————-—-1
1几何概型的定义——--——--——-———---——--—---—-—---——----—---——---—-——------—3
1.1几何概型的定义--—---—---—-———-—--—----——----—-——-—---———--——-----———-3
1.2几何概型的两个特点—-----——-------—-———-----——--—-----——-————--—-—-——-3
1.3几何概型的三个基本性质——-----—-——-—-—-------——----—-———--————-------—4
2几何概型的分类和计算-—-—-—--————--—-—--—-——————————-—---—-—-----———-———3
2.1区间模型——仅涉及一个变量——--—-——----—-—-—--—--—————-—-——-—-——————4
2。1.1测度为长度的几何模型——-————-—-——-—-——-—-—--———----—---——-———-—-—3
2。1。2测度为角度的几何模型-—-——-———-—-—-——-----—---—-——————---———--——-3
2。2平面模型——涉及两个变量-————------—---———-—-—---——--—————————-——3

2.3空间模型——涉及三个变量——--—-——-—-——--—--——-—--—-—-——----————--5
3几何概型的应用-—-—---—--—--—---——--—————---——----————-——-——---—-——--——-3
3。1几何概型在生活中的应用--——————-———--—---—----—--—-——-————---——----—-—3
3。2几何概型在工业中的应用————-———-—-—————--—-—-————---—-——---—--—-—-—--—3
3.3几何概型在教学、解题中的应用-—-———-——---——------—-———---—-——--—--3
参考文献---—--—-————-——---—--——-—-----———--—-—-———--—--——---———--—--—--—34
致 谢-——---—-———-——-—--——----—-—----——-——-—-——-—----—-—-—-——--—--—-—-—-—36

1几何概型的定义
几何概型是概率与数理统计中最基本的问题之一，因而有必要进行深入探讨和归纳．
1.1几何概型的定义
设Ω是某个可度量的区域（可以是一维、二维、三维）。若一个随机试验可归纳为向Ω中随机地投入一点M,点M落在Ω中任一点是等可能的，即点M落在Ω的某一子区域A内的概率与A的几何量成正比,而与A的行政和位置无关,则称这样的概率模型维几何概率概型,简称几何概型．
对于几何概型试验，若记“点M落在A内"为事件A，则事件A的概率公式为P(A）=m（A)/m（Ω),其中m表示区域的几何度量（可以是长度、面积、体积等)．
1.2几何概型的两个特点
(1）在一次随即试验中，不同的试验结果（基本事件)有无限多个；
(2）每一个基本事件发生的可能性相等．
1.3几何概型的三个基本性质
（1）对于任何事件A,P（A)≥0;
（2）P(Ω)=1；
（3）若两两互不相容，
则P
第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率的规范性,第三个性质称为概率的（由限)可加性．
2几何概型的分类和计算
由几何概型计算公式P（A）=(分母不为0）可知,几何概型的计算与测度即几何度量有直接的关系，而几何度量又可分为长度度量，面积度量,体积度量，角度度量等不同情况，所以根据几何度量的不同可把几何概型分为测度为长度的几何概型，测度为面积的几何概型，测度为体积的几何概型和测度为角度的几何概型．而测度为长度的几何概型和测度为角度的几何概型都只涉及一个变量，称为区间模型；测度为面积的几何概型因涉及两个变量又称为平面模型；测度为体积的几何概型又称为空间模型．
2.1区间模型——仅涉及一个变量
2。1.1测度为长度的几何模型
例 1　 如　图 1，∠AOB=，OA = 2，OB = 5，在线段 OB上 任取一点 C，试求 :AOC为钝角三角形的概率 ．　
解析　 先看使AOC为直角三角形的情况：(1)若∠OCA=，则 OC=1;（2)若∠OCA=,则OC=4．如图,分别是适合以上两种情况的点C，它们均在线段OB上,由题意知，当点C在线段内时，AOC为钝角三角形 ．故D的测度=OB =5，d的测度 ==l+l=2．从而，AOC为钝角三角形的概率 P=

点评 对测度为线段长度的问题，在画图分析时要完整地、准确地把握构成所求事件的样本空间所对应的线段,防止遗漏或以偏盖全．
例 2 设m在［o，5]上随机地取值，求方程有有实根的概率．
解：一元二次方程有实数根△==（m+1）（m—2）≥o，则m≤一1或m≥2，故所求概率P=．
2。1.2测度为角度的几何模型
例 3　 在ABC中，∠B = ∠C =，高 AE =，在 ∠BAC内作射线 AM 交　BC于M ，求 BM 〈l的概率 ．　
解析　 如图2,射线AM在∠BAC内是等可能分布的，当AM与高AE重合时，BM =l，故满足 BM 〈l的射线 AM在 ∠BAE内．于是D的测度 =∠BAC=，d的测度 =∠BAE =，从而P(BM＜1）=

点评　 若将本题 的　“在 ∠BAC内作射线 AM交BC于M”改为“在线段　BC上取点M”，则测度由“角度”变 为线段 的“长度"，所以对于背景相似的问题，要仔细研读,认真辨析，注意区别．
例 4 已知等腰三角形ABC,C＝，在直角边BC上任取一点M，求＜的概率．
分析 如图，在CB上取点，使∠CA=，则区域D为线段CB的长，为线段C的长．

解： 在CB上取点使∠CA=，设BC＝a，则C＝，故PC(∠CA=)=．
例 5　 如图 ,以等腰直角A三角形的直角顶点为圆心作圆，使这个圆与斜边相关，则截得的弦长不小于直角边的概率是多少?　 　
解　 设等腰直角三角形的直角边长度为1,“以其直角顶点为圆心作圆，这个圆 与斜边相关,截得的弦长不小于直角边”为事件B．要使这个圆与斜边相关,则此圆半径最短为，最长为1；
要保证事件B发生,则此圆半径最短为图4中的C N =，最长为1，d的测度=,D 的测度=,∴P（B)= ．

2.2平面模型—-涉及两个变量
例6在区间(0,1）上随机取两个数﹑求关于的一元二次方程有实根的概率．
分析：设事件A表示方程有实根,因为﹑是从(0,1)中任意取的两个数，所以点（，)与正方形D内的点一一对应，其中D一｛(，)0〈〈1，0<〈1｝，事件A＝｛(，）－4≥0,（，）∈D)，有利事件A的样本点区域为图1中阴影部分A，A＝｛（，)－4≥0，0<〈1,0〈<1｝，有P(A）=

例 7从(0，2)中，随地取两个数;两数之和小0。8的概率．
分析：设两数分别为x，y，则样本空间D＝｛(x，y) 0〈x〈2,0需x＞2时，上式成立，即＜
∴当边长x＜2。5时，才能使硬币与线不相交概率小于0.04．
例 9　 设点(p ,q）在 ≤3，≤ 3中按均匀分布出现，试求方程 的两根都是实数的概率 ．　
解析　 根据一元二次方程有实数根的充要条件找出p,q的约束条件，进而确定区域的测度,如图3，基本事件总数的区域D的测度为正方形面积，即D的测度 ==36．由方程的两根都是实数，得，所以≥ 1.所以当点（p,q）落在如图所示的阴影部分时，方程的两根均为实数，由图可知，区域d的测度 =所以原方程两根都是实数的概率P=．

点评　 本题综合了代数、几何及概率等方面的相关知识,理解和分析时要注意数与形的结合和相互转化 ．
例 10 在集合{（x，y)0≤x≤5,0≤Y≤4｝内任取一个元素,能使成立的概率是多少？
解:如图1，集合{(x，y)0≤z≤5，0≤y≤4}为矩形内点的（包括边界)suo所有点的集合，集合｛（x，y)｝表示矩形内直线上方（包括直线)所有点的集合．

故所有概率为

例 11 分别在区间「1，6」和「2,4」内任取一实数，依次记为m和n,求m﹥n的概率．
分析 题中涉及两个变量，议题意得到这两个变量的一组约束条件,可以考虑建立平面直角坐标系，转化为与面积有关的几何概型问题．
解：由已知得1≤m≤6，2≤n≤4,m＞n.设点P所在区域坐标为(m，n）（m＞n)，则点P所在区域为图3中阴影部分，因此所求概率P=。
答：m＞n的概率为．
评注：当实际问题涉及两个变量时，可利用平面坐标系来讨论

例 12 在区间（0，1）中随机地取两个数，则两数之和大于0。5且小于1．5的概多少？

分 析　本题是在区间 （0，1）中随机地取两个数为，且两数是相互独立的，是典型的二维空间问题．
解:设在区间（O,1）中随机地取两个数为x,y,即0

2。3空间模型——涉及三个变量
例13 正方形的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥的体积小于的概率．
分析 需求四棱锥的高h的变化范围．
解：设点M到平面ABCD的距离h，则四棱锥的体积为.若＜,由,h＜,所以带你M到平面ABCD的距离小于时,＜.
∴满足点M到平面ABCD的距离小于的点组成以ABCD为底且高为的长方体，其体积为．
又正方体的体积为1。
∴所求概率P=.
答：使四棱锥的体积小于的概率为．
评注：为了求出所有符合条件的点，需要找到一个符合条件的界点，这里体现了点、线、面、体的相互转化．本题的测度为几何体的体积，解题的关键是对四棱锥 M—ABCD的高 h的变化范围的探求 ．
解决几何概型问题关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．
（1） 当考察对象为点,点的活动范围在线段上时，用线段比计算:
（2） 当考察对象为点，点的活动范围在平面区域内时，用面积计算：
（3） 当考察对象为点，点的活动范围在空间区域时，用体积计算：
（4） 当考察对象为线时，一般用角度比计算．
对于几何概型问题的求解，关键是理解题意,定好测度，把握所求事件对应的区域,注意与代数、几何等相关知识的联系，掌握常见数学思想方法在解题中的灵活运用 ．　
3几何概型的应用
3.1几何概型在生活中的应用
例 14 两人约好在某地相会，两人随机地在7点到8点时间内到相会点，假设先到的人最多等对方15分钟，求两人能相会的概率．
解析：设两人到达相会点的耐问分剐7点为x分钟和7点y分钟，则点（x，y)与正方形D内点一一对应，其中D={(x，y) {x0〈x≤60，0早上7：00至8：00之间，求小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率．
分析 本题涉及两个变量，可利用平面直角坐标系研究。当小明的爸爸离家去工作的时刻晚于送报人把报纸送到小明家的时刻时，小明爸爸能得到报纸．
解：为了方便作图，记6：30为0时，设送报人把报纸送到小明家的时刻为x，小明的爸爸离开家的时刻为y,则0≤x≤60，30≤y≤90(单位:分钟) ．

只要y≥x，小明的爸爸离家前旧能得到报纸.在平面直角坐标系中作上述区域（如图）．由图可知区域D=，区域。
∴所求概率P=．
答：小明的爸爸离开家之前能得到报纸的概率为．
评注 平面直角坐标系是解决涉及两个变量的问题的重要工具,把实际问题转化为数学问题是解题的关键，如本题是把“小明的爸爸能看到报纸”转化为两个时刻的关系y≥x。
例 16 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率．
分析 每个乘客可在相邻两班车之间的任何一个时刻到达车站，因此每个乘客到达车站的时间t可以看成是均匀落在长为10分钟的时间区域上的一个随机点，等待时间不超过7分钟则是指点落在区间上．
解：设上一辆车于时刻到达,而下辆车于时刻到达，线段的长度为10.设T是线段上的点，且的长度等于7,如图1所示．
记等车时间不超过7分钟为事件A,事件A发生即点t落在线段上，由D=＝10，d＝＝7，得P(A）=．
3。2几何概型在工业中的应用
例 17　 在一个底面为正方形的容器内撒入1000粒豆子，数得落在正方形内切圆内的豆子数为785粒，试估计圆周率的近似值 ．　
解析　 首先利用频率估计豆子落入圆内的概率，再根据几何概型求出这个概率,根据这两个概率相等来估计圆周率的近　似值 ．　
记“豆子落入正方形 内切圆”为事件 A，　
则P（A)=（其中R为圆的半径，为圆周率),豆子落人内切圆的频率,由于1000数目较大，所以有P(A)，即所以．故估计圆周率的近似值是3．140．　
点评　 一般地，向正方形内撒豆子的数目越大频率越接近概率，由此估计的值就越精确 ．
例 18　 用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的沙粒，试求这个沙粒距离球心不小于lcm的概率．
解：　设“沙粒距离球心不小于lcm”为事件A，球心为O，沙粒位置为M，则事件A发生，即OM ≥lcm．设R=3,r=1则
D=，d=。
∴P（A)=.
答 ：沙粒距离球心不小于lcm的概率为．
3.3几何概型在教学、解题中的应用
例 19 一 条 线 段 长 为 n，把 这 条 线 段 分 成三 段 ，求 三 条 线 段 能 构 成 三 角 形 的概 率 ．

设其中两条线段长分别为x，y，则第三条线段长，则样本空间D=有利事件

例 20 在国周上任取三个点 A、B、C求厶ABC为钝角三角形的概率．

,

,（图6）

4归纳总结
几何概型不只局限于列举的种类，我们要多想多思.几何概型的应用，有待我们在扎实的掌握基础知识的基础上，多做，多练，运用科学的思维方法去深入挖掘，使其得到充分的利用.
主要参考文献
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［2］ 徐颖。 几何概型分类及应用［J］。 中学生数理化，2007，7-8，1-2。
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