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欧洲五大足球俱乐部的数学建模分析论文
前言：
纵观当今欧洲足坛，风起云涌，豪强并起。巴萨皇马，称雄西甲；德甲拜仁，一枝独秀；蓝黑军团国际米兰，逐鹿意甲之天下；英超一霸切尔西，竟然也能在高手如林的欧冠赛场捧杯。欧洲的足球水平为何如此之高？五大豪强的经验又带给了我们什么样的启示呢？这便是本文要探讨的问题。本文引用了数学建模的思想，采用了层次分析法对欧洲五大足球俱乐部的综合实力进行理性而深入的分析。所谓数学建模，就是对现实世界中的某一特定现象，为了某一特定的目的，做的简化假设，运用数学工具，得到一个数学结构。而层次分析法，是建模中常用的方法之一。通过层与层之间的对比分析，得出实际问题中的某些结论
本文所研究的问题是关于五大足球俱乐部的综合实力排名情况。现实的足球世界中，影响一支球队的综合能力有许多。例如进攻能力、防守能力、球员能力、
教练的执教能力、裁判的执法能力等。这些因素都是对于一支的球队综合实力有着或多或少的影响。但他们各自的权重并不一样，所以，如何筛选这些因素是本文分析的关键所在。
众所周知，当数学模型建立之后，还不能马上用于实际分析，必须对模型做进一步的检验。由于本文数据分析过程较为繁琐，所以检验部分并非人工完成，而是运用电脑软件R来完成的。采用了Satty的检验方法对模型进行分析，使模型分析的可信度大大提高。

关键词：数学模型、层次分析法、欧洲足球

一、 数学建模的基本过程：
如下图所示
实际问题
抽象、简化假设、设定参数、变量
数学建模
模型求解
参数估计
模型检验
符合否?
模型应用

图1：数学建模基本流程图
层次分析法把人的思维层次化、数量化, 并用数学为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。这一方法的特点是在对复杂决策问题的本质、影响因素以及内在关系等进行深入分析之后, 构建一个层次结构模型, 然后利用较少的定量信息, 把决策的思维过程数学化, 从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供一种简便的决策方法 , 尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。
二、问题重述
本文将对欧洲五大足球俱乐部（巴塞罗那、皇家马德里、国际米兰、切尔西、拜仁慕尼黑）的综合实力进行分析。利用层次分析法，把问题分成三个层次，即目标层、准则层、方案层。其基本思想是：通过准则层各因素对目标层的重要程度比较的量化，经过适当的数学推导，得出前述的各权系数。
三、问题分析
首先本文的研究目的是为了评价欧洲五大球队（巴萨、皇马、拜仁、国米、切尔西）的综合实力。对于一支球队来说，球员是组成球队的重要部分，因此，球员能力高低将直接影响球队的实力。
其次，球队在比赛的过程中是通过进球来获得比赛的胜利的，而要想进球，就要攻破对手的防线，所以进攻能力也是综合实力的体现。
最后，球队的防守的效果，是决定球队立于不败之地的关键所在，也是球队综合实力的一个评价指标。
四、 做出假设，画出层次分析图
基于以上的分析：
1、 假设球队的综合实力主要体现在自身的进攻实力、防守实力已经球员能力。
2、 假设影响一支球队获胜的其他因素均视为随机误差。
3、 假设足球比赛中获胜、平局、落败的概率相等（没有暗箱操作）。
故层次分析图如下所示：
五支欧洲俱乐部足球队综合实力A
的综合实力
进攻指数
B1
防守指数
B2
球员身价总值
B3
巴

萨
C1
皇
马
C2
拜
仁
C3
国

米
C4
切尔西C5
0
图2：层次分析图
五、方案说明
1、符号说明：
表1：符号说明图
Ａ
五支球队的综合实力
B1
进攻指数
B2
防守指数
B3
球员的身价总值
C1
巴萨罗那
C2
皇家马德里
C3
拜仁慕尼黑
C4
国际米兰
C5
切尔西

六、 两两比较、建立判别矩阵
构建层次分析结构之后，将问题归结为各支俱乐部球队三个体现综合实力的指标进行排序。所以，我们要在各层中对元素进行两两比较，构建判别矩阵。层次分析法主要是人们对每一层次中各因素相对重要性给出的判断 这些判断通过引入合适的标度, 用数值表示出来, 写成判断矩阵。判别矩阵表示针对上一层次因素, 本层次与之有关因素之间的相对重要性的比较。
因此，首先判断B1、B2、B3对于A的重要性。众所周知，每一支球队都是由每一个足球运动员组成的。所以，球队实力的体现最重要的部分，应该是球员的身价总值；其次，评价一支球队的强弱，应该看球队的进攻能力，倘若一支球队进球多，那么它获胜的可能性也就比较大：同样球队的防守能力也很重要，只要简单地设想一下就知道，如果这支球队失球数越少，那么它获胜的可能性也就大。
接着就是确定各元素的权重，考虑都各元素对目标元素的影响，可用下表数值表示：
表2：权重的对应的数值
Xi/Xj
相等
较强
强
很强
绝对强
aij
1
3
5
7
9
若介于上述二者之间，则取2、4、6、8，由此得到的矩阵A为正互反矩阵。
依据上文的分析，球员身价的权重应该是最大的。其次是球队的进攻指数。权重最小的应该是防守指数。所以，基于上表的数据，我们确定A-B矩阵为：
A
B1
B2
B3
B1
1
3
1 /3
B2
1/3
1
1/5
B3
3
5
1
各球队数据如下，通过对一下数据的粗步分析:
表3：五支球队的具体数据

巴萨罗那的进球数（主要指标）最多，传球成功率也最高，其次是拜仁、皇马、国米、切尔西。失球数最多的是巴萨和国米，其次是皇马和切尔西、最后是拜仁。所以我们可以做出如下矩阵：B1-C
B1
C1
C2
C3
C4
C5
C1
1
3
2
4
5
C2
1/3
1
1/2
2
3
C3
1/2
3
1
3
4
C4
1/4
1/2
1/2
1
2
C5
1/5
1/3
1/4
1/2
1
从数据上看，巴萨和国米失球最多，17场比赛共失球19个，其次是皇马和切尔西，共失球17个，而拜仁失球最少，只有7个。以此建立B2-C矩阵为：
B2-C
B2
C1
C2
C3
C4
C5
C1
1
1/3

1/5
1
1/3
C2
3
1
1/3
3
1
C3
5
3
1
5
3
C4
1
1/3
1/5
1
1/3
C5
3
5
1/3
3
1
从体育网站上获得的数据：目前，各支球员身价总值为（欧元）：巴萨5.4 亿、皇马5.245亿、国米3.6725亿、切尔西3.62亿、拜仁3.031亿。所以B3-C矩阵：
B3
C1
C2
C3
C4
C5
C1
1
3
9
5
7
C2
1/3
1
7
3
5
C3
1/9
1/7
1
1/5
1/3
C4
1/5
1/3
5
1

3
C5
1/7
1/5
3
1/3
1
七、一致性检验
对于判别矩阵的一致性检验，本文采用Saaty提出的平均随机一致性检。若某矩阵为一致性矩阵，其最大特征根为n，其余特征根为0。通常用CI来衡量一致性。如果CI越小，则一致性越好。但这种方法用缺陷，所以，Saaty提出平均随机，引入了RI概念，并用CR=CI/RI来衡量矩阵的一致性，当CR<0.1时，则认为矩阵有较满意的一致性。其中：

注：Satty给出的RI标准为
N
1
2
3
4
5
RI
0
0
0.58
0.9
1.12
运用R软件可以求的矩阵的特征值和特征向量。并可从中确定最大特征根，将其代入公式，就可以求的CR的取值。
运用R软件计算得：
A-B矩阵的CR≈0.07<0.1,所以矩阵A通过一致性检验。
B1-C矩阵的CR=2.232143e-0.8<0.1,∴B1-C也通过检验。
B2-C矩阵的CR=0<0.1∴B2-C矩阵通过一致性检验。
B3-C矩阵的CR=-2.232143e-0.8<0.1∴B3-C矩阵通过一致性检验。
八、 模型的优缺点
该模型主要运用了层次分析法进行数据分析，其优点是：
1、 通过层与层之间的对比分析，使读者对于这五大足球俱乐部的综合实力有了进一步的认识(主要通过判别矩阵)。
2、 从过层次分析法得到五支球队的综合实力评价，要比根据自己的主观分析得都的综合实力评价显得客观一些。
3、 通过建模分析实际问题可以达到深入简出的效果。
其缺点是：
1、判别矩阵中的各元素自己全是作者凭经验臆测得出的。没有经过专业人士的认证。所以得出的判别矩阵可能与真实的判别矩阵略有不同。
九、结论
基于模型本身，通过以上的分析可以得出最终的综合实力排名情况为：
巴萨、拜仁、皇马、切尔西、国米。在这五大俱乐部球队中，巴萨罗那队拥有豪华的球员阵容，进攻能力是五支球队当中最强的，但防守的能力比较弱；皇马同样拥有豪华的球员阵容，但进攻能力稍弱，防守能力也稍弱（或许是因为这几场比赛是状态低迷的原因）；拜仁虽然没有豪华的球员阵容，但进攻能力比较强，而防守能力又是这五支球队中最好的，历来都是欧冠的一支劲旅。因此，个人认为拜仁拥有很强的实力；国米最近几场比赛中所体现的进攻能力和防守能力都偏弱，可以说球队正处于下滑期，但就此判断国米的真实实力为时尚早，再怎么说，毕竟也是当年叱咤绿茵场的米兰双雄中的一员；切尔西也是没有豪华的球员阵容，所以进攻能力偏弱是可以理解的，但切尔西的防守能力还是可以跟五大球队抗衡的。2012年，切尔西正是凭借自己的防守能力击败各路豪强，夺得欧冠联赛的冠军。因此，切尔西的实力也不容小觑。

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