本科毕业论文---n阶行列式计算方法探索.doc

本科毕业设计（论文）

题目： N阶行列式计算方法探索

毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明

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本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。
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本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

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学位论文版权使用授权书
本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权　　 　 　大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。
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8）致谢
9）附录（对论文支持必要时）
2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。
3附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。
4.文字、图表要求：
1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写
2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画
3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印
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5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档
5.装订顺序
1）设计（论文）
2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订

指导教师评阅书

指导教师评价：
一、撰写（设计）过程
1、学生在论文（设计）过程中的治学态度、工作精神
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
2、学生掌握专业知识、技能的扎实程度
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
3、学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
4、研究方法的科学性；技术线路的可行性；设计方案的合理性
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
5、完成毕业论文（设计）期间的出勤情况
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
二、论文（设计）质量
1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
三、论文（设计）水平
1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
3、论文（设计说明书）所体现的整体水平
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
建议成绩：□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
（在所选等级前的□内画“√”）
指导教师： （签名） 单位： （盖章）
年 月 日

评阅教师评阅书

评阅教师评价：
一、论文（设计）质量
1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
二、论文（设计）水平
1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义
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2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？
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3、论文（设计说明书）所体现的整体水平
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建议成绩：□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
（在所选等级前的□内画“√”）
评阅教师： （签名） 单位： （盖章）
年 月 日

教研室（或答辩小组）及教学系意见
教研室（或答辩小组）评价：
一、答辩过程
1、毕业论文（设计）的基本要点和见解的叙述情况
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
2、对答辩问题的反应、理解、表达情况
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
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□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
二、论文（设计）质量
1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
三、论文（设计）水平
1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？
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3、论文（设计说明书）所体现的整体水平
□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
评定成绩：□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格
教研室主任（或答辩小组组长）： （签名）
年 月 日
教学系意见：
系主任： （签名）
年 月 日

摘 要
行列式的计算是行列式理论中的重要组成部分和难题,而计算行列式的固定方法是不存在的,应该根据行列式的特点应用各种不同的计算方法。本篇论文应用行列式的性质，探讨了多种计算行列式的方法。首先列举了一些常用方法：利用行列式定义直接计算法，根据行列式性质化为三角形列式法，按一行（列）展开以及利用已知公式法，然后介绍了一些比较特殊的方法如：数学归纳法与递推法，加边法，拉普拉斯定理的应用等等。但这几种方法之间都不是相互独立的，而是有一定关联的。一个行列式可能有多种解答方法，或者是在同一个行列式的计算中将同时会用到几种方法以简便计算。这就要求我们在掌握了行列式的若干种解法之后，能够灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化。除此以外，在初等代数和立体几何中，行列式的某些定理和性质也为我们解题拓宽了一种思路。

关键词： N阶行列式  行列式的性质  初等代数 三阶行列式

Abstract

The calculation of the determinant is the important component and the
difficult problem in the theory of the determinant. There is no fixed method of
calculating the determinant . So we should use different methods to calculate the determinant according to the characteristics of the determinant. In this paper, 
considering the characteristics of determinant, we provide several common methods 
to calculate the determinant. Firstly, we list some common methods. For example ：
the direct method of calculation by using the determinant definition , the method of 
changing the determinant into a triangular determinant according to the properties of
 the determinant, the method of expanding the determinant by line (column)  and the using the known formula method. Secondly, we introduce some special methods 
the mathematical conduction method and recursive method , adding the edge method and  the method of the application of Laplace theorem. Between these methods are not independent of each other,but have certain correlation.There are some
different methods to calculate a determinant or using several methods to simplify
and calculate the same determinant at the same time.This requests us in mastering the determinant of several kinds of method,flexible to use and find one of the
most simple method to make complex problem simple,In addition,by applying the
theorems and the properties of the determinant ,we can solve some problems about elementary algebra andsolid geometry.

Key words：n-order determinant ,the property of the determinant,
elementary algebra,three-order determinant

目 录
第一章 前 言 １
第二章 计算行列式的基础方法 ２
2.1利用行列式的定义计算 ２
2.2利用行列式的性质计算行列式 ３
2.3 化为三角形法 ４
2.4 行列式按一行（列）展开 ４
2.5 加边法 ６
2.6 递推法 ７
2.7 数学归纳法 ８
2.8 线性因子计算法 １０
2.9 拆项法 １１
2.10 构造法 １２
第三章 行列式计算方法的拓展 １３
3.1 应用公式和定理计算 １３
3.1.1 范德蒙行列式 １３
3.1.2 拉普拉斯定理 １４
3.2 辅助行列式法 １５
3.3 四分块矩阵计算 １６
第四章 行列式的应用 １８
4.1 行列式在初等代数中的应用 １８
4.1.1用行列式分解因式 １８
4.1.2 用行列式证明不等式和恒等式 １９
4.2 三阶行列式在立体几何中的应用 ２０
致谢 ２３
参考文献 ２４

１

第一章 前 言
行列式作为研究线性代数的一个必不可少的工具，在线性方程组、矩阵、二次型，以及数学的其他分支里都要用到这方面知识。在行列式中n阶行列式的计算是一个重点，相对于来说也是一个比较难的方面。很多人不能非常熟练的掌握其计算方法。因此行列式的计算问题显得非常的重要。
引例：对于二元线性方程组

若，则

对于低元的方程组，对应的低阶行列式比较好计算。但是我们为了解n元方程组，

那就不得不用面临计算

对于这种n阶行列式的计算方法，除了定义法，我们还能通过其他方法计算吗？

第二章 计算行列式的基础方法
2.1利用行列式的定义计算
行列式的定义 ：n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2...anjn（1）的代数和，这里j1j2...jn是1,2，...，n的一个排列，每一项（1）都按下列规则带有符号：当j1j2...jn是奇排列时，（1）带有负号，当j1j2...jn是偶排列时，（1）带有正号。这一定义可写成

这里 表示对所有n阶排列求和。

例1 计算行列式
解：这是一个4阶行列式，展开式共有4！=24项，可以看出，对角线上元素乘积的项与次对角线上元素乘积的项值不为零，其余项都为零，而且，，所以
=12*3*4+1*2*3*4=48;
通常来说，利用行列式的定义来解n阶行列值更多的应用于某些特殊的、有规律的行列式，因为它能得到意想不到的效果。而这类行列式一般有一些明显的特征，例如: (1)只有对角线的元素不是零，或者行列式是上、下（反上、下）三角形行列式；(2)中一定有一个元素等于零,或者是有很多项为零; (3)等等。

2.2利用行列式的性质计算行列式
行列式的完全展开式在行列式的理论中所占的地位是非常重要的，利用它可以导出行列式的某些重要性质，而这些性质在简化行列式的计算中可以起到非常关键的作用。总结行列式的性质，可以分为以下：
性质1 行列变换，行列式不变；
性质2 某行（列）的公因子可以提到行列式符号外；
性质3 如果某一行（列）是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样；
性质4 如果行列式中有两行（列）对应元素都相等，那么行列式为零；
性质5 如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零；
性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变；
性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。
作为行列式的应用，我们来看下面这个例子。

例2 计算n阶行列式：

解：当n=1时，D1=a1+b1,；
当n=2时，D2=
当n时，
故

2.3 化为三角形法
化三角形法指的是通过行列式的行变换和列变换，使得行列式变成下面的形式：位于主对角线 一侧的所有元素全等于0，这样得到的行列式的值等于主对角线元素的乘积，对于次对角线的情形，行列式的值等于（-1）1/2n(n-1)与次对角线上所有元素的乘积。化三角法一般只适用于一些有规律的、 可以通过简单的初等行列变换变成三角形行列式， 或 者变成爪型行列式、主次对角行列式、平行线形行列式、等的行列式。但对于其它的一些行列式就不是很适合应用。

例3 计算行列式 Dn=
解： Dn==（x+(n-1)y）
=（x+(n- 1)y） =[x+(n- 1)y](x- y)n- 1

2.4 行列式按一行（列）展开
这种按行列式某行或某列展开的计算方法是运用行列式自身所带有的工具--余子式、代数余子式。下面先介绍余子式和代数余子式的定义：
余子式：在n阶行列式中，将元素aij所在的第i行第j列的元素划去后剩下的元素按照位置次序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记为Mij，
代数余子式：当Aij=（-1）i+jMij，称Aij为元素Aij的代数余子式。
在了解了余子式和代数余子式之后，再补充一条关于行列式的值的定理，
定理：行列式的值等于它的某一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 因此，我们可以把一个n阶行列式的计算置换成n个（n-1）阶行列式来计算，这种方法通常应用在一般是行列式某一行或某一列含有较多的零时。

例4 计算
解:原式=

注：由行列式的展开定理，我们可以把有些行列式展开来，展开成若干个低一阶的行列式的代数和，如果有必要的话，我们可以继续展开下去，直到方便计算求和，这种方法叫做降阶法。
例5 计算n 阶行列式D=
解: 依第一列展开得
D=+(- 1)n+1y
=xn+(- 1)n+1yn

2.5 加边法
还有一种常用的行列式计算方法--加边法，也就是升阶法。有时候为了方便计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当然，加边后的行列式必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式容易计算。这就要求我们在选取所加的行和列要根据需要和原行列式的特点。加边法适用于某一行（列）只有一个不相同的元素的情况，也可用于其行（列）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。加边法的一般做法是：

这里升阶是为了降价，在*处加上所需要的数，就可以简化行列式的计算，用此法时要注意行列式阶数的变化。
例6 计算n（n≥2）阶行列式Dn=，其中a1a2...an0
解：先将D n添上一行一列，变成下面的n+1阶行列式：
Dn+1=,显然Dn+1=Dn
将上式第1行乘以-1加到第i行；第i行乘以-加到第1行（i=2，…，n）；
按第一行展开得Dn+1=（1+)a1a2...an

注：找出每行或每列相同的因子是加边法最大的特点，这样升阶之后，我们就可以利用行列式的性质把绝大部分的元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的目的。当然，有时加边后的行列式的值不一定就等于原行列式的值，不过会与原行列式的值存在一个关系。例如有原行列式Dn，Dn行列式如果直接求值的话，不容易求，加边后的行列式为Dn+1，很容易求得Dn+1的值，两者有比较明确的关系，ADn+BDn+1=C，则可利用这个关系求出行列式Dn的值，这种解法也是同样适用于加边法的。

2.6 递推法
递推法也是一种常用的行列式计算方法。递推方法计算行列式是将已知的行列式按行（列）展开成较低阶的同类型的行列式（同类型行列式是指阶数不同，但结构相同的行列式），再找出Dn与Dn-1或Dn与Dn-1、Dn-2（其中Dn、Dn-1、Dn-2结构一定要相同）之间的递推关系，然后利用这个递推公式求出行列式的值。
例7 计算行列式
Dn=
解:将Dn按第一行展开,得
Dn = ( a + b)Dn- 1 - ab
= ( a + b)Dn- 1 - abDn- 2.
把上式改写成 Dn - aD n- 1 = b(Dn - 1 - aDn- 2 )
利用上述递推关系,递推得到
Dn - aDn- 1 = b (Dn- 1 - aDn- 2 )
= b2(Dn- 2 - aDn-3 )
= bn- 2(D2 - aD 1 ).
而D1 = a + b, D2 ==a2+ab+b2,
将它们代入上式, 得Dn - aDn- 1 = bn, 即Dn = aDn-1 + bn
再由此递推关系得 Dn = aDn- 1+ bn
= a(aDn- 2 + bn-1）+ bn
=a2Dn- 2 +abn-1+bn
=……
=an+an-1b+...+abn-1+bn
=

2.7 数学归纳法
数学归纳法来计算行列式，一般来说是利用不完全归纳法先寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出对猜想的证明。因为对于给定的一个行列式，要猜想其值是比较困难的事情，所以有时是先给定其值，然后再去证明一个与自然数n有关的命题。数学归纳法分为第一、第二数学归纳法。
第一数学归纳法：（1）证明当n=1时表达式成立；
（2）证明如果当n=k时成立，那么当n=k+1时也同样成立。
第二数学归纳法：（1）证明当n=1时命题成立；
（2）设nk时命题成立；
（3）由归纳假设推出n=k+1时命题也成立。
一般情况下，用第一归纳法来计算行列式就可以了，但有时候用第一归纳法来证明时，仅仅只能归纳假设“n=k时命题成立”，还不能证明出命题对n=k+1也能够成立，所以就要求用更强的归纳假设“nk时命题成立”，也就是用到了第二数学归纳法。用数学归纳法计算行列式时，要看行列式的具体条件，再决定是适用第一数学归纳法还是第二数学归纳法。

例8 证明 Dn==cos,
证明：用第一数学归纳法证明。
当n=1时, ，等式成立；
n=2时, D1=cos, 等式成立；
设当n=k 时 等式成立,
则当n=k+l时,2cos

=cos(k+1)=右边，故等式成立，得证。

例9 计算行列式
解：D1=2，D2=4-1=3,D3=8-2-2=4
猜想Dn=n+1
（1）当n=1时验证成立；
（2）假设时成立，即有Dk=k+1
当n=k+1时，有

当n=k+1时，猜想成立。

2.8 线性因子计算法
首先需要了解到以下两个命题：
(1) 设行列式D 中的各元素都是a,b 的有理整函数, 若以b 代替a时，行列式的值为零, 则a- b 是原行列式的一个因子。
(2) 设行列式D 的元素都是x 的有理整函数, 如果x=a 时, D 有p行( 列) 各元素变成相同, 那么行列式D 有因式(x- a)p- 1

例10 计算n 阶行列式f(x)=
解: 由于以x=a 代入后, 行列式有n 行元素都相同。
依命题, f(x)有因式(x- a)n- 1,
将f(x)变形为f(x)=
显然f(x)有因式[x+(n- 1)a],
因而f(x)=k[(x- a)n- 1][ x+(n- 1)a],这里k为待定系数。
由于f(x)的n 次项xn 的系数为1, 故k=1。
从而f(x)=[(x- a)n- 1][ x+(n- 1)a]。

2.9 拆项法
由行列式的拆项性质得，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得到原行列式的值，此法叫做拆行（列）法。由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一个性质，有时候较容易求出行列式的值。
例11 计算n（n≥2）阶行列式
解：将D n按第一列拆成两个行列式的和，即

上式等号右端的第一个行列式：第i列减去第一列的i倍，第i列再提取公因式；
第二个行列式：提出第一列的公因子，再分别减去第一列的i倍（i=2,3，。。。，n），
则得到
当时，;当时，。

2.10 构造法
根据题设条件构造出一个新行列式再进行计算。
例12 设
证明：
证：构造出多项式：

第三章 行列式计算方法的拓展
3.1 应用公式和定理计算
3.1.1 范德蒙行列式
N阶范德蒙行列式的形式和结果为：
，
例13 计算行列式

解：

范德蒙行列式应用起来虽然简单，但必须要注意，行列式结构符合范德蒙行列式结构，所以我们计算行列式时需要注意，有些行列式只是结构上与范德蒙行列式结构形似，其实并不符合范德蒙行列式。这往往会导致我们错误的计算行列式。而有的时候有些行列式，从形式上看不是范德蒙行列式，但经过一定的变形之后却是符合范德蒙行列式的形式。所以在计算时务必先小心判断，再解题。
3.1.2 拉普拉斯定理
拉普拉斯定理：任意取定n级行列式D的某k行（列）（）,由这k行（列）元素所组成的一切k级子式（共有个）与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。
从拉普拉斯定理可以看出，对行列式进行计算，有时可以把行列式进行分块处理，然后把分好的行列式块进行一个乘法计算，这样也是可以求解出行列式的值，这种方法即是分块法。
例14 计算N阶行列式：

解：利用拉普拉斯定理展开，按第n行展开有

3.2 辅助行列式法
辅助行列式法是指在行列式D的各元素中加上一个数x，使得新行列式Dn除对角线外，其余的元素均为零，然后计算Dn的主对角线各元素的代数余子式（i=1,2，。。。，n），由此可得。
例15 计算
解：在Dn的各元素上加上（-a）后，得

辅助行列式也称为元素变形法，我们还可以近一步推广，可以把一些行列式进行元素变形，使得原本不容易计算的行列式变的计算十分容易，再通过计算出来的行列式的值与行列式之间的关系来求出原行列式的值。

3.3 四分块矩阵计算
有如下两个命题：
命题1设A、B、C、D都是n阶矩阵，其中，并且AC=CA，
则
命题2设是一个n阶矩阵，其中A、B、C、D分别是阶的矩阵。
（i）若A可逆，则
(ii)若D可逆，则
我们可以直接利用命题2的结论来计算某些行列式，其方法较为简便，容易掌握。
例16 计算2n阶行列式
解：令，
则

第四章 行列式的应用
行列式是研究数学的重要工具之一，应用于多元一次方程组的解、线性方程组、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、n维空间的投影变换、初等代数、解析几何、线性微分方程组等的计算中。下面主要研究和探讨了行列式在初等代数、高中代数和立体几何中的应用。

4.1 行列式在初等代数中的应用
4.1.1用行列式分解因式
利用行列式分解因式，关键在于把所给的多项式写成行列式的形式，并注意行列式的排列规则，下面举几个例子来说明。

例17 分解因式：

解：原式

例18 分解因式：
解：原式

4.1.2 用行列式证明不等式和恒等式
我们知道，在行列式的性质中，把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列)的对应元素上，行列式不变；如果行列式中有一行（列）的元素全部为零，那么这个行列式等于零。我们可以利用行列式的这些性质，构造行列式来证明等式和不等式。
例19 已知,求证

证明：令，则

而，则，命题得证。

例20 已知
求证。
证明：令，则

命题得证。

4.2 三阶行列式在立体几何中的应用
由高等数学的相关知识可知，两个不共线非零向量的叉乘表示这两个向量所在平面的法向量。而行列式恰好可以解决垂直问题，因此求一个平面的法向量可以通过构造一个三阶行列式来进行计算。
首先我们要知道三阶行列式的运算方法：
例21 如图在直四棱柱中，底面为等腰梯形，,分别是棱的中点。

(1)证明:直线EE1∥平面FCC1;
(2)求二面角B－FC1－C的余弦值．
解：(1)∵AB=4，BC=CD=2，F是棱AB的中点，
∴BF=BC=CF，△BCF为正三角形．
∵ABCD为等腰梯形，∴∠BAC=∠ABC=60°，取AF的中点M．
连接DM，则DM⊥AB，∴DM⊥CD．
以DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，
A(，－1，0)，F(，1，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
E（），E1()，
∴

设平面CC1F的法向量为，则，
取，
则
∴直线EE1∥平面FCC1；
（2） ,
设平面BFC1的法向量为则，
取，
则

由图可知二面角B－FC1－C的余弦值为。
第五章 小结
以上我着重的介绍利用行列式的一些定义和性质来计算行列式，总结了多种计算行列式的方法，通过对这几种方法的熟练掌握和灵活应用，最终会使行列式的运算变的简洁、方便、准确。我们针对具体问题具体行列式的时候，务必要把握行列式的特点，灵活选用计算方法。计算行列式时，应当遵循一个总的原则：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可以运用多种方法计算一个行列式。在学习过程中，我们一定要多总结，多练习，用系统的眼光，发散的思维去解决问题，才能更好的掌握行列式的计算.

致谢
大学四年时光已经悄然接近尾声，不得不让人感叹真的是时光如梭啊！我清清楚楚的记得，当我第一次来到南京林业大学时，我所看到的场景，所听到的声音，所遇到的人。樱花开了一年又一年，柳树绿了一季又一季，将近四年的时间，我们的母校发生了很多的变化，在此我真心的祝愿我的母校能够越来越美，更加雄起！
本论文在完成过程中得到了我的导师--朱敏老师的悉心指导。朱老师多次询问论文的研究进程，主动为我解决论文写作中遇到的困难，在忙碌的教学工作之余，帮助我查找论文的相关文献资料，并且还帮助开拓我的研究思路，对我的论文提出了很多宝贵的建议。因此，本论文的完成也倾注了朱老师的大量心血，在此谨向朱老师真诚的说一句“谢谢”，也祝愿老师工作顺利，越来越年轻美丽！
我还要感谢5栋108的美女们，我们来自不同的地方，却共同度过了这人生中难忘的四年。我不会忘了临近期末，宿舍熄灯以后还亮着的一盏一盏的小台灯；我也不会忘了没课的时候我们一起出去玩的快乐；我更不会忘了我们一起分享好吃的，用同一双筷子，用同一跟吸管……在即将分别的时候，我希望你们每个人的生活都会越来越美好，笑容也越来越灿烂！
最后，特别感谢班主任孙老师对我们班级所付出的的心血，祝愿您工作顺利，家庭幸福，女儿越来越可爱。也感谢这四年来所有教过我的老师，感谢您的悉心教导。还有我的家人，感谢你们给我一个美好的家庭环境，感谢你们对我的信任和支持，我爱你们！

参考文献
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