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高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .
例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为，则该球的体积为______________.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则此球的表面积为 .
例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. B. C. D.

3.求多面体的外接球的有关问题
例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为则这个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为，高为，则有

∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.∴外接球的半径. 体积：.
小结 本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_______________.
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .
故其外接球的表面积.
小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长 即
练习：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为
例 6一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. B. C. D.

例7 已知球的面上四点A、B、C、D，，，，则球的体积等于 .
图5
解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于，，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.（如图4）
图4

2、 例8（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，，，若，则球的体积是
解析：首先可联想到例7，构造下面的长方体，于是为球的直径，O为球心，为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出即可，在中，求出，所以，故B、C两点间的球面距离是.（如图5）
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
三.多面体几何性质法
例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A. B. C. D..
小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
四.寻求轴截面圆半径法
例正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为
解:设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得.
又，∴球心必在所在的直线上.
∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
在中，由，
∴.
∴是外接圆的半径，也是外接球的半径.故.
小结:根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
五 .确定球心位置法
例5 在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为
A. B. C. D.
解:设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知.∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径.故.
出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且求球的体积。
解：且
因为 所以知:
所以 所以可得图形为：
在中斜边为
在中斜边为
取斜边的中点，
在中
在中
所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心
所以该外接球的体积为
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

1. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
答案　B
2. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若
,，则此球的表面积等于 。
解:在中,,可得,由正弦定理,可得
外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.
3．正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱
柱的体积为 　　．
答案 8
4.表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A． B． C． D．
答案 A
【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，
，则此球的直径为，故选A。

5.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）
A.2 B. C. D.
答案 D
6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A. 1∶ B. 1∶3 C. 1∶3 D. 1∶9
答案 C
7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边
形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　　　．
答案
8. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱
的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　　．
答案
9.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四
棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为  cm2.
答案

A
B
C
P

D
E
F
10.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱
锥的侧面积是________．
答案
11.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）

棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中
三角形(正四面体的截面)的面积是 .
答案
12.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ）

A． B．
C． D．以上都不对
答案C

13.设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
A． B．2π C．4π D．
答案C
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