浙江省宁波市效实中学2015届高考模拟测试数学试题.doc

宁波效实中学
2015届高考模拟测试卷
数学(理)试题
说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
参考公式：
柱体的体积公式：V=Sh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.
锥体的体积公式:V=Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高。
球的表面积公式：S=4πR2 ，其中R表示球的半径。
球的体积公式：V=πR3 ，其中R表示球的半径.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数，则 （ ▲ )
A． B． C． D．
2．已知函数是定义在上的奇函数,则（ ▲ ）
A． B． C． D．
3．设不等式组表示的平面区域为，若直线上存在区域内的点，则的取值范围是（ ▲ ）
A． B． C． D．
4．已知是等比数列的公比,则“”是“数列是递增数列”的
（ ▲ )条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
（第5题）
O

5．已知点为双曲线，的
左顶点,，线段交双曲线一条渐近线于点，
且满足，则该双曲线的离心率为（ ▲ )
A． B． C． D．
6．已知在中，的最大值为（ ▲ )
A． B. C. D.
7．已知函数在上的最大值为,则的最小值是
（ ▲ )
A． B． C． D．
8．如图，长方体中，,，为的中点，为底面四边形内的动点，且满足，则点的轨迹的长度为（ ▲ ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共110分)
二、 填空题: 本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．
9．已知集合，则 ▲ ；
▲ ．
10．数列的前项和满足，且,则 ▲ ，
数列的前项和 ▲ ．
11。与圆外切于点，且半径为的圆方程为 ▲ ，
若圆上恰有两个点到直线的距离为,则实数 ▲ ．
12．已知函数的一个对称中心是，则
　 ▲ 　，现将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍（纵坐标不变），得到函数,再将函数的图象向左平移个单位，得到函数，若
,则的值是 ▲ ．
13．边长为的正四面体的三视图中，俯视图为边长为的正三角形，则正视图的面积的取值范围是 ▲ ．
14．若实数满足，则的取值范围是 ▲ ．
15．的三边成等差，且，则的取值范围是 ▲ ．
三、解答题:本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本题满分15分)
已知向量,.若函数．
（Ⅰ）求时，函数的值域；
（Ⅱ） 在中，分别是角的对边，若,且，求边上中线长的最大值．

17．（本题满分15分）

如图，三棱锥中，平面．，点， 分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ)在线段上的点，且;
求直线与平面所成角的正切值．

18．(本题满分15分）
已知二次函数．
（Ⅰ）若，且函数的最大值为，求的解析式;
（Ⅱ）若在上单调递增，且的顶点在轴上，求满足
的实数的最小值．

19．（本题满分15分)
已知为坐标原点,椭圆的左、右焦点分别为，点为直线
上且不在轴上的任意一点．
(Ⅰ）求周长的最小值;
（Ⅱ）设直线和的斜率分别为，直线和与椭圆的交点分别为 和．
ⅰ）证明：；

ⅱ）当直线的斜率之和为时，求直线上点的坐标．

20．（本题满分14分）
正项数列满足,．
（Ⅰ)求的值;
（Ⅱ)证明：对任意的,；
（Ⅲ）记数列的前项和为，证明:对任意的，．

参考答案
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．
二、对计算题,当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．
（1） C （2） D （3） C （4） B
(5） D （6） A （7) B （8） B
二、填空题： 本题考查基本知识和基本运算．前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．
（9）， （10），
（11）, （12）,
（13） （14） （15）
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．答案：（1），值域；…………………7分
（2）， …………………15分
17．答案:
（1) …………5分
(2）连交于,则是的重心，且，

所以, …………9分
作于，则，所以,
所以，是直线与平面所成角. 12分
且，, ，。
所以，直线与平面所成角的正切值为. …………15分
方法二:以为坐标原点,为轴,为轴,建立空间直角坐标系。
设

令面的法向量为，则,,
得
因为平面所以得
则 …………10分
面的法向量
设直线与平面所成角为,则，
直线与平面所成角的正切值为 …………15分
18．解:（Ⅰ)由条件，可得
于是， …………3分
因为函数的最大值为，则且
即，故 …………6分
（Ⅱ)由条件可设，其中 …………8分
由，得
于是， …………10分
易知则， …………11分
令
于是 …………14分
取等号的条件为：…………15分
19．(Ⅰ）令关于的对称点为则

…………5分
（Ⅱ)ⅰ）令
，
…………9分
ⅱ)设令
由得，
，
同样可算得，
由，得，整理得，
或，又因为

（舍）或
或 …………15分
20．（Ⅰ）由及,所以 …………3分
（Ⅱ)由
又因为在上递增，故 …………7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知,，，…，,相乘得
，即
故 …………10分
另一方面，,
令，则
于是,，…，，相乘得
，即
故
综上， …………14分