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实数完备性基本定理等价性的证明
摘要 本文通过循环证明对实数完备性基本定理的等价性作出了证明.
关键词 实数完备性基本定理 等价性 循环证明
§1 引
在这一节，主要对本文所用到的定义，定理及推论作以介绍.
定义 设闭区间列具有如下性质：
（i）, ;
（ii）=0,
则称为闭区间套，或简称区间套.
确界原理 设 S为非空数集.若 S有上界，则 S必有上确界；若 S有下界，则 S必有下确界.
单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限.
区间套定理 若是一个闭区间套，则在实数中存在唯一的一点 ，使得即

推论 若 是区间套所确定的点，则对任给的> 0，存在N> 0，使得当n>N 时有
.
有限覆盖定理 设H为闭区间 的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖 .
聚点定理 实数轴上任一有限无界点集 S至少有一个聚点.
柯西收敛准则 数列 收敛的充要条件是：对任给的>0 ，存在正整数N，使得当n,m>N 时有
〈.

§2 六大基本定理等价性的证明
本节就是对六大基本定理等价性的证明.首先列出证明过程的基本框架：
确界原理 单调有界定理 区间套定理

柯西收敛准则 聚点定理 有限覆盖定理
下面就是这个循环证明的过程.
1 由确界原理证明单调有界定理
证 不妨设为 有上界的递增数列. 由确界原理，数列有上确界.记
a=sup . 下面证明 a就是 的极限 . 事实上，任给 〉0 ，按上确界的定义，存在数列 中某一项，使得a-〈 . 又由 的递增性，当nN 时有
a- <.
另一方面，由于a是 的一个上界，故对一切, 都有a
证 由区间套的定义，各闭区间的端点满足如下不等式：

即 为递增有界数列，依单调有界定理， 有极限 ，且有
（1）
同理，递减有界数列 也有极限，并按区间套的条件（ii）有
（2）
且 , （3）
联合（1）及（3）即得.
, （4）
最后证明满足（4）的 是唯一的 ，设数 也满足,

则由（4）式有
，
由区间套的条件（ii）得

故有 .
3 由区间套定理证明有限覆盖定理
证 用反证法 假设定理的结论不成立，即不能用H 中有限个开区间来覆盖 .
将 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖. 记这个子区间为 ，则 ，且 .
再将 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记这个子区间为 ，则 ，且 .
重复上述步骤并不断进行下去，则得到一个闭区间列 ，它满足
.

即 是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖.
由区间套定理，存在唯一的一点 ,n=1,2,…. 由于H 是 的一个开覆盖，故存在开区间H ，使. 于是，由区间套定理推论，当n 充分大时有
.
这表明 只须用H 中的一个开区间 就能覆盖，与挑选 时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾. 从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖 .
4 由有限覆盖定理证明聚点定理
证 设A 为有界无限点集 .那么存在正数M>0 ，使得
A .
假设 中任意点都不是A 的聚点，则对任意一点x, 必存在相应的>0 使得在 中至多有A 的有限个点. 记 ，则H 为A 的一个开覆盖 .
由有限覆盖定理，在H 中可以找到有限个开区间覆盖. 记为 ，从而更能覆盖A .
因内至多含有A 中有限个点，从而 A 为有限点集，与假设“ A 是有界无限点集”矛盾 . 故区间 中至少有一个集合 A 的聚点，即集合A 至少有一个聚点.
5 由聚点定理证明柯西收敛准则
证 先证条件的必要性：
设 ，则对任意给定的 >0, 有一正整数N ，当k.>N 时，有

从而当m, n>N 时，有

其次，证明条件的充分性：
设数列 满足条件：对任给正数 ，总存在某一个自然数N ，使得当m, n>N 时，都有
.
取 ，则存在自然数 ，当n> 时，有
,
从而
,
令M=max ,
则对一切 有
,
即 有界.
下证 有收敛子列 .
若E= 是有限集，则 必有一常子列；若E 为无限集，则由聚点定理， E有一个聚点 A. 由聚点定义可证，存在 ，使 . 总之， 有收敛子列 .设 ，则对任给正数 ，存在N ，当k, m, n>N 时，有
,
.
所以当 n>N（任取 k>N ，使 ）时，有
.
故 .
6 用数列的柯西收敛准则证明确界原理
证 设S 为原理非空有上界数集 . 由实数的阿基米德性，对任何正数，存在整数，使得 为S 的上界，而 不是S 的上界，即存在 S ，使得
.
分别取 , 则对每一个正整数n ，存在相应的 ，使得为S 的上界，而 不是 S 的上界，故存在，使得
. (5)
又对正整数 m, 是S 的上界，故有 结合（5）式得 ；同理有 . 从而得
.
于是，对任给的，存在N>0 ，使得当 m ,n >N 时有
.
由柯西收敛准则,数列 收敛 .记
(6)
现在证明就是S 的上确界 .首先,对任何aS 和正整数n 有a,由(6)式得a,即是的S 一个上界 .其次, 对任何>0 ,由 及(6)式, 对充分大的n 同时有
.
又因 不是S 的上界, 故存在, 使得. 结合上式得
.
这说明为S的上确界 .
同理可证：若S 为非空有下界数集,则必存在下确界 .
参考文献
[1] 华东师范大学数学系 编 《数学分析》 高等教育出版社 2001年6月第3版
[2] 复旦大学数学系 陈传璋等 编 《数学分析》 高等教育出版社 1983年7月第2版
[3] 杨熙鹏 邵子逊 刘颖植 主编 《数学分析习题解析》 陕西师范大学出版社
[4] 钱吉林等 主编 《数学分析题解精粹》 崇文书局 2003年8月第1版
The Proof on the Equivalent Relations in the Foundamental Theorems of Completeness of Real Numbers
Abstract In this paper , we prove to the equivalent relations in the foundamental theorems of the completeness of real numbers by cyclic proof .
Key words completeness of real numbers foundamental theorem equivalent relation cyclic proof
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