1、研究2014年高考天津卷理科压轴题题1 (2014年高考天津卷理科第20题)设f(x)xaex(aR)，xR.已知函数yf(x)有两个零点x1，x2，且x1x2.(1)求a的取值范围；(2)证明：随着a的减小而增大；(3)证明：x1x2随着a的减小而增大解 (1)题设即关于的方程有两个零点.用导数可得函数在上分别是增函数、减函数，且.由此可作出函数的图象如图1所示：图1所以所求答案为.(2)设.关于的方程的两个零点分别是；关于的方程的两个零点分别是.图2由图2可得，所以，即欲证成立.(2)的另证 可得，所以.由已证的，得，所以，即欲证成立.(3)可设.在(2)的另证中已得，即.所以 得.设，得
2、.再设，得，所以是增函数，得.再由此得，所以即是的增函数.又由(2)的结论知，是的减函数.所以是的减函数，即欲证结论成立.笔者研究题1后，得到了如下结论：定理1 若函数f(x)xaex(xR)有两个零点x1，x2(x1x2)，则(设)：(1)的取值范围分别是，且.(2)均是的增函数也均是的减函数，它们的取值范围分别是；是的减函数也是的增函数，其取值范围是(0,1).(3).证明 (1)由题1(1)的解答及式立得.(2)由以上题1的结论(2),(3)及(2)的另证得：均是的减函数.又题1的结论(2)“即是的减函数”也即“是的减函数”，所以均是的增函数.由(1)的结论，可得再由洛必达法则，可得的取
3、值范围分别是.由(1)的结论，可得.设，得所以是增函数，再由洛必达法则，可得函数的值域是.所以是的增函数也是的减函数，其取值范围是.由(1)的结论，可得.设，得所以是减函数，再由洛必达法则，可得函数的值域是.令后，可得是的减函数也是的增函数，其取值范围是(0,1).由，分别是的增函数，可得是的增函数也是的减函数.可得，再由洛必达法则，可得的取值范围是.可得.三次用导数可证函数是减函数，再由洛必达法则，可得的取值范围是(0,1).可得.设，得设，得进而可得均是的增函数也是的减函数，其取值范围是.(3)由(2)的结论得，又，所以.推论 若函数有两个零点x1，x2(x1x2)，则(设)：(1)的取值
4、范围分别是，且.(2)均是的增函数也均是的减函数，它们的取值范围分别是；是的减函数也是的增函数，其取值范围是.(3).定理2 若有两个零点x1，x2(x1x2)，则(设)：(1)的取值范围分别是，且.(2)均是的增函数也均是的减函数，它们的取值范围分别是.证明 (1)略.(2)由(1)的结论，得 即显然是的增函数；用导数可证均是的增函数，所以均是的增函数.由函数的图象可知即是的减函数，所以均是的减函数.再由洛必达法则，可得欲证成立.猜想1 均是的增函数；是的减函数.定理3 若有两个零点x1，x2(x1x2)，则(设)：(1)的取值范围分别是，且.(2)均是的增函数也均是的增函数，它们的取值范围分别是；是的减函数也是的减函数，其取值范围是.猜想2 均是的增函数；是的减函数.
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