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2016年北京市高考数学考试(理科) 作者： 日期：个人收集整理，勿做商业用途2016年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）第部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合，则（）（A）（B）（C）（D）（2）若，满足则的最大值为（）（A）0（B）3（C）4（D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（）（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a，b是向量则“”是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知，且，则（）（A）（B）（C）（D）（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）（A）（B）（C）（D）（7）将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点.若位于函数的图象上，则（）（A），的最小值为（B），的最小值为（C），的最小值为（D），的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（10）在的展开式中，的系数为（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线与圆交于两点，则（12）已知为等差数列，为其前项和若，则（13）双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为该双曲线的焦点若正方形的边长为，则（14）设函数 若，则的最大值为； 若无最大值，则实数的取值范围是三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题13分）在中，（）求的大小；（）求的最大值（16）（本小题 13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：A组66.577.58B组6789101112C组34.567.5910.51213.5（）试估计C班的学生人数；（）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙， 假设所有学生的锻炼时间相互独立， 求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小（结论不要求证明）（17）（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由（18）（本小题13分）设函数，曲线在点处的切线方程为（）求a，b的值；（）求的单调区间（19）（本小题14分）已知椭圆的离心率为，的面积为（）求椭圆的方程；（）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点N求证：为定值（20）（本小题13分）设数列如果对小于的每个正整数都有，则称是数列的一个“时刻”记是数列的所有“时刻”组成的集合（）对数列，写出的所有元素；（）证明：若数列中存在使得，则；（）证明：若数列满足，则的元素个数不小于2016年北京高考数学（理科）答案与解析1. C【解析】集合，集合，所以.2. C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为，最大值为.3. B【解析】开始，；第一次循环，；第二次循环，第三次循环，条件判断为“是”跳出，此时. 4. D【解析】若成立，则以，为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以不一定成立，从而不是充分条件；反之，成立，则以，为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以不一定成立，从而不是必要条件.5. C【解析】 .考查的是反比例函数在单调递减，所以即所以错； .考查的是三角函数在单调性，不是单调的，所以不一定有，错；.考查的是指数函数在单调递减，所以有即所以对；考查的是对数函数的性质，当时，不一定有，所以错.6A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高，底面积，所以体积.7A【解析】点在函数上，所以，然后向左平移个单位，即，所以，所以的最小值为.8B【解析】取两个球往盒子中放有种情况：红+红，则乙盒中红球数加个；黑+黑，则丙盒中黑球数加个；红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加个；黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加个因为红球和黑球个数一样，所以和的情况一样多，和的情况完全随机和对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响和出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样综上，选B9.【解析】其对应点在实轴上，10.【解析】由二项式定理得含的项为11.【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算， 直线的直角坐标方程为， 圆的直角坐标方程为 圆心在直线上，因此为圆的直径，12.【解析】，13. 2【解析】不妨令为双曲线的右焦点，在第一象限，则双曲线图象如图为正方形，直线是渐近线，方程为，又14，【解析】由，得，如下图，是的两个函数在没有限制条件时的图象 ； 当时，有最大值；当时，在时无最大值，且所以，15【解析】 最大值为1上式最大值为116【解析】，C班学生40人在A班中取到每个人的概率相同均为设班中取到第个人事件为C班中取到第个人事件为班中取到的概率为所求事件为则三组平均数分别为总均值但中多加的三个数据平均值为，比小，故拉低了平均值17【解析】面面面面，面面面又面取中点为，连结，以为原点，如图建系易知，则，设为面的法向量，令，则与面夹角有假设存在点使得面设，由（2）知，有面，为的法向量即综上，存在点，即当时，点即为所求.18【解析】 （I） 曲线在点处的切线方程为，即 由解得：，（II）由（I）可知：， 令，极小值的最小值是的最小值为即对恒成立在上单调递增，无减区间.19【解析】由已知，又， 解得椭圆的方程为.方法一：设椭圆上一点，则.直线：,令，得.直线：,令，得.将代入上式得故为定值.方法二：设椭圆 上一点，直线PA:,令，得.直线:,令，得.故为定值.20【解析】 因为存在，设数列中第一个大于的项为，则，其中，所以， 设数列的所有“时刻”为，对于第一个“时刻”，有，则对于第二个“时刻”，有（）则类似的，于是，对于，若，则；若，则，否则由，知中存在“时刻”，与只有个“时刻”矛盾从而，证毕