第八讲：高考解析几何命题热点研讨.doc

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第八讲：2013年高考解析几何命题热点研讨（1)
主讲人：孟老师

考纲解读

理解直线斜率概念，掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程。掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。了解二元一次不等式表示平面区域。了解线性规划的意义，并会简单的应用。了解解析几何的基本思想,了解坐标法。掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.了解圆锥曲线的初步应用.

第一部分：热点研讨

解析几何是历来高考的重点,这一点是每个高中学生和每一个高中毕业班数学老师都知道的.解析几何在高考中一般是一道大题和一道小题.一般来说,大题不出双曲线,小题和大题能把所有的知识点都囊括完整。譬如：小题考双曲线和圆,大题就必定考抛物线和椭圆。圆锥曲线主要有以下几个部分:直线和圆、椭圆、双曲线、抛物线.其中文科高考大题喜欢出直线和圆,理科高考大题喜欢出抛物线、椭圆和直线。圆锥曲线的题目是有通性通法的。我们用一线教师数学老师的俗语就是说,对于一般的圆锥曲线题目，只要不是压轴题，这个题目我们都是可以用通性通法来解答的。这是高考教师的一个不得而知的秘密.也就是说对于圆锥曲线题目，这个题目你即使不会做,你可以联立直线和圆锥曲线，然后消去一个量，得到一个一元二次方程，再利用韦达定理和判别式来解题.后面一般是和直线的斜率公式、点到直线的距离公式、弦长公式、向量的平行与垂直有关。当然我们要是能理清其中的关系，这个题目就做出来了.下面我们通过几方面来讲解高考在这一部分考试的热点。
高考解析几何考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查.选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系.

孟老师建议大家注意一下几点

（一）圆的有关问题
1(＞0）称为圆的一般方程,
其圆心坐标为（,），半径为.
当=0时，方程表示一个点（，);
当＜0时，方程不表示任何图形。
2圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：
（θ为参数）
（θ为参数）

(二）椭圆及其标准方程的几个注意点
1离心率:椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率。它的值表示椭圆的扁平程度。0＜e＜1。e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.
2.椭圆的焦半径:由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
设（—c，0），（c，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M(x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.
3.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.
4。 椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.
说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角。椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同:；
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换。

（三)双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a(小于|｜）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜｜｜，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解。若2a=|｜，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞｜｜,则无轨迹.若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”。
2。双曲线的离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.

（四)抛物线的标准方程和几何性质
1。焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为(p＞0)：

2。直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程:x+bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交,但有一个公共点。

热点研讨1：对直线与圆的命题

1(孟老师模拟举例)
过点（3,1）作直线与圆(x－1）2＋y2＝9相交于M、N两点，则|MN|的最小值为
A．2 B．2 C．4 D．6
解析:由数形结合知，当过点（3，1）的直线与过圆心（1,0)和点（3,1）的直线垂直时，|MN|＝2(r为圆(x－12＋y2＝9的半径，d为圆心到直线的距离）最小．
∴dmax＝＝。∴｜MN|min＝2＝4.答案：C

2（2012·盐城中学高三2月月考)
已知数列{an｝，圆C1：x2＋y2－2anx＋2an＋1y－1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长．
（1）求证：数列{an｝是等差数列；
(2）若a1＝－3，则当圆C1的半径最小时，求出圆C1的方程．
解:（1）由已知，圆C1的圆心为（an,－an＋1)，半径为r1＝，圆C2的圆心为(－1，－1)，半径为r2＝2.
又圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长
∴｜C1C2｜2＋r＝r，则(an＋1)2＋（－an＋1＋1）2＋4＝a＋a＋1,
∴an＋1－an＝,∴数列｛an｝是等差数列．
（2）∵a1＝－3，∴an＝n－，则r1＝
＝＝.
∵n∈N*，∴当n＝2时，r1可取得最小值,此时，圆C1的方程是x2＋y2＋x＋4y－1＝0.

3（2012年安徽卷）
若直线与圆有公共点，则实数取值范围是
(A） [—3 ，—1 ］ （B）［ -1 ， 3 ］
（C) [ -3 ，1 ] （D）（— ，—3 ］ U [ ，+ ）
【解析】选
圆的圆心到直线的距离为
则

热点研讨2对圆锥曲线的命题

1（2012年江苏卷）
如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点,直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ★ 。
【答案】
【解析】用表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.

2（2012年湖南卷)
设双曲线的渐近线方程为，则的值为
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知.

3(2012年辽宁卷）
已知P,Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4,2，过P、Q分别作抛物线的切线,两切线交于A，则点A的纵坐标为__________.
【答案】4
【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2。
由所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4，本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键.

4（2011年辽宁高考)
已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN,l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．
（I）设，求与的比值;
（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

解:（I)
（i）若单调增加.
（ii）若
且当
所以单调增加，在单调减少。
(II）设函数则

当。
故当，
(III)由(I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为
不妨设
由（II）得
从而
由(I）知，

5（2011·南京模拟)
已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1）y＝4m和圆C:x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.
（1）求直线l斜率的取值范围；
（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么？
解：(1)直线l的方程可化为y＝x－，
直线l的斜率k＝，因为｜m｜≤(m2＋1)，
所以｜k｜＝≤，当且仅当｜m｜＝1时等号成立．
所以斜率k的取值范围是.
（2)不能．由（1)知l的方程为y＝k(x－4）,其中｜k|≤。
圆C的圆心坐标为（4，－2)，半径r＝2。圆心C到直线l的距离d＝。
由｜k|≤,得d≥〉1，即d〉.从而,若l与圆C相交，则圆C截直径l所得的弦所对的圆心角小于.所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧．

6(2011年北京高考）
已知椭圆。过点（m，0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点。
(I）求椭圆G的焦点坐标和离心率;（II）将表示为m的函数，并求的最大值.
解:（Ⅰ）由已知得所以
所以椭圆G的焦点坐标为离心率为
(Ⅱ）由题意知,。
当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为
此时当m=－1时，同理可得
当时,设切线l的方程为
由
设A、B两点的坐标分别为,则

又由l与圆
所以

由于当时,
所以.
因为
且当时，|AB｜=2，所以｜AB|的最大值为2.

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