高考极坐标和参数方程题型总结.docx

一）极坐标中的运算
1．在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求，的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积.

2．【2015高考新课标2，理23】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．
（Ⅰ）.求与交点的直角坐标；
（Ⅱ）.若与相交于点，与相交于点，求的最大值．
【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）．
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．
3．（2016年全国I高考）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ.
（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：⑴ （均为参数）
∴ ①
∴为以为圆心，为半径的圆．方程为
∵
∴ 即为的极坐标方程
⑵
两边同乘得

即 ②
：化为普通方程为
由题意：和的公共方程所在直线即为
①—②得：，即为
∴
∴
4：已知圆C的圆心C的极坐标为(2,π)，半径为3，过极点O的直线L与圆C交于A,B两点，OA与AB同向，直线的向上的方向与极轴所成的角为α
（1） 求圆C的极坐标方程；
（2） 当α=135°时，求A,B两点的极坐标以及弦AB的长
5：在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为x=4-22ty=22t（为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ
（1） 求曲线C1的极坐标方程和C2的参数方程；
（2） 若射线θ=θ°(ρ>0)与曲线C1,C2分别交于M,N且|ON|=μOM，求实数μ的最大值.

（二）.参数方程中任意点（或动点）
例：曲线C1:x=-4+costy3+sint(t为参数)，C2：x=8cosθy=3sinθ(θ为参数)
（1）.化C1，C2为直角坐标系方程，并说明表示什么曲线。
(2).若C1上的点P对应的参数为t=π2,Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3x=3+2ty=-2+t(t为参数)距离最小值。
例：在极坐标中，射线L:θ=π6与圆c:ρ=2交于A点，椭圆D的方程为ρ2=31+2sin2θ，以极点为原点，极轴为x正半轴建立平面直角坐标系xoy
（1） 求点A的直角坐标和椭圆D的参数方程；
（2） 若E为椭圆D的下顶点，F为椭圆D上任意一点，求AE.AF的取值范围。
例：在直角坐标系中，圆C1x2+y2=1经过伸缩变换x'=3xy'=2y后得到曲线C2以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L的极坐标方程为cosθ+2sinθ=10ρ .
（1） 求曲线C2的直角坐标方程及直线L的直角坐标方程；
（2） 设点M是C2上一动点，求点M到直线L的距离的最小值.
例（2016年全国III高考）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .
（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

三．直线与曲线相交问题
例（2016年全国II高考）在直角坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．
解：⑴整理圆的方程得，
由可知圆的极坐标方程为．
⑵记直线的斜率为，则直线的方程为，
由垂径定理及点到直线距离公式知：，
即，整理得，则．

例（2015）湖南已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1） 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2） 设点的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为，，求的值.
例：在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为x=cosαy=sinα，(α为参数，且αϵ0，π））以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，.曲线C2的极坐标方程
四．求点坐标，图形面积，轨迹方程等的计算。
例：（全国新课标理23）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x=2cosαy=2+2sinα (α 为参数 ) M为C1上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线C2．
（I）求C2的方程；
（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
解：
（I）设P(x，y)，则由条件知M（x2,y2）由于M点在C1上，所以x2=2cosαy2=2+2sinα
从而的参数方程为
（为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为．
所以.
例：在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数为x=a+acosβy=asinβ(a>0)，以O为极点x，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线L的极坐标方程ρcosθ-π3)=32 .
(1) 若曲线C与L只有一个公共点，求a的值；
(2) A,B为曲线C上的两点且∠AOB=π3，求△OAB的面积最大值.
习题训练：
1.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ2-22ρsin⁡(θ-π4)-2=0曲线的极坐标方程为θ=π4 (ρ∈R), C1与C2相交于A,B两点.
（1）求和的直角坐标方程；
(2)若点P为C1上的动点，求PA2+PB2的取值范围.
2. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程x=4-22ty=22t (为参数）曲线的极坐标方程为ρ=2cosθ
(1) 求的极坐标方程和C2的参数方程;
(2)若射线θ=θ0 （ρ>0）与曲线C1，C2分别交于M,N且ON=λOM，求实数λ的最大值.
3. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C和直线L的极坐标方程分别为ρ=42cos(θ-π4)，ρ3cosθ-sinθ=2 .
(1) 将曲线C极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）直线L与曲线C交于A,B两点，点P（3，1）求1PA2+1PB2的值.
4. 在极坐标系中，已知曲线C：ρcosθ+π4=1,过极点O作射线与曲线C交于Q，在射线OQ上取一点P，使OP∙OQ=2
（1）求点P的轨迹C1的极坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，若直线L：y=-3x与（1）的曲线C1相交于E（异于点O）,与曲线C2:x=12-22ty=22t(为参数）相交于点F，求EF的值.
5. 在直角坐标系中，曲线的参数方程x=1+2cosθy=2+2sinθ (θ为参数）若M是曲线C1上的一点，点P是曲线C2上任意一点，且满足OP=3OQ .
（1）求曲线C2的直角坐标方程；
(2) 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线L:ρsinθ-ρcosθ-7=0，在直线L上两动点E,F满足EF=42，试求△MEF面积的最大值.
6．在直角坐标系中，曲线L的参数方程x=-32ty=1+12t (为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程ρ=3643sinθ-12cosθ-ρ定点M6，0，点N是曲线C1上的动点，Q为MN的中点；
（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）已知直线L与x轴的交点为P，与曲线C2的交点为A,B若AB的中点为D，求PD的长.
7. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2-22ρsin⁡(θ-π4)-2=0, 曲线C2的极坐标方程为θ=π4ρ∈R,C1与C2的交点为A,B.
(1) 将曲线C1,C2极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A,B的直角坐标；
（2）若P为C1上的动点，求PA2+PB2的取值范围.
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