解三角形高考题库.doc

三角函数
．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为 ( B )
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
．（2013年高考湖南（文））在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b. 若2asinB=b,则角A等于______ （　　）
A． B． C． D．
．（2013年高考辽宁卷（文））在,内角所对的边长分别为 （　A　）
A． B． C． D．
．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为 （　B　）
A．2+2 B．+1 C．2-2 D．-1
．（2013年高考山东卷（文））的内角的对边分别是,
若,,,则 （B　　）
A． B．2 C． D．1
．（2013年高考安徽（文））设的内角所对边的长分别为,若,则角= （　B　）
A． B． C． D．
．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知锐角的内角的对边分别为,,,,则 （　D　）
A． B． C． D．
．（2013年高考北京卷（文））在△ABC中,,,则 （　B　）
A． B． C． D．1
9.（2013年天津数学（理））在△ABC中, 则 = ( C )
(A) (B) (C) (D)
10．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中,角所对的边长分别为.若 ( D )
A. B. C. D.
11．已知中，角、、所对应的边分别为、、，若，且 ，则（ A ）
A． B． C． D．
12．（2012年高考）在中，若，，．则（ B ）
A． B． C． D．
二、填空题：
13．（2010年高考）已知、、分别是的三个内角、、所对的边，若，，，则 ．
14．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））中,,是的中点,若,则________.
15．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））如图中,已知点D在BC边上,ADAC,则的长为_______________

16．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c,若,则角C的余弦值是______________
三、解答题
17．（2013年高考北京卷（理））在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.
(I)求cosA的值; (II)求c的值.
解:(I)因为a=3,b=2,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得.所以.故.
(II)由(I)知,所以.又因为∠B=2∠A,所以.所以.
在△ABC中,.
所以.
18．（2013年高考四川卷（理））在中,角的对边分别为,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.
解:由,得
,
即,
则,即
由,得,
由正弦定理,有,所以,.
由题知,则,故.
根据余弦定理,有,
解得或(舍去).
故向量在方向上的投影为
19．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））设△的内角所对的边分别为,且,,.
(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.
解:(Ⅰ)由余弦定理,得,
又,,,所以,解得,.
(Ⅱ)在△中,,
由正弦定理得 ,
因为,所以为锐角,所以
因此 .
20．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）如下图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,.
(1)求索道的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
C
B
A

解:(1)

根据得
(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则
∴
∵即
∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.
(3)由正弦定理得(m)
乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C
设乙的步行速度为V ,则
∴∴
∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内
法二:解:(1)如图作BD⊥CA于点D,
设BD=20k,则DC=25k,AD=48k,
AB=52k,由AC=63k=1260m,
知:AB=52k=1040m.
(2)设乙出发x分钟后到达点M,
此时甲到达N点,如图所示.
则:AM=130x,AN=50(x+2),
由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000,
其中0≤x≤8,当x=(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.
(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时:=(min).
若甲等乙3分钟,则乙到C用时:+3= (min),在BC上用时: (min) .
此时乙的速度最小,且为:500÷=m/min.
若乙等甲3分钟,则乙到C用时:-3= (min),在BC上用时: (min) .
此时乙的速度最大,且为:500÷=m/min.
故乙步行的速度应控制在[,]范围内.
C
B
A
D
M
N

21．（2013年高考湖北卷（理））在中,角,,对应的边分别是,,.已知.
(I)求角的大小; (II)若的面积,,求的值.
(Ⅰ)由,得,
即,解得 或(舍去).
因为,所以.
(Ⅱ)由得. 又,知.
由余弦定理得故.
又由正弦定理得.
22．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））△在内角的对边分别为,已知.
(Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求△面积的最大值.

23．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°
(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA

(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得==,∴PA=;
(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得,,化简得,,
∴=,∴=.
24．（2013年高考江西卷（理））在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.
(1) 求角B的大小;若a+c=1,求b的取值范围
解:(1)由已知得
即有
因为,所以,又,所以,
又,所以.
(2)由余弦定理,有.
因为,有.
又,于是有,即有
25．（2013年高考天津卷（文））在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知, a = 3, .
(Ⅰ) 求b的值; (Ⅱ) 求的值.

26．（2013年高考浙江卷（文））在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
且2asinB=b .
(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ) 若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
解:(Ⅰ)由已知得到:,且,
且;
(Ⅱ)由(1)知,由已知得到:
,
所以;
27．（2013年高考重庆卷（文））
在△中,内角、、的对边分别是、、,且.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)设,为△的面积,求的最大值,并指出此时的值
解：（1）

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