高考中立体几何和三棱柱.doc

1.【2012高考重庆文20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
已知直三棱柱中，，，为的中点。（Ⅰ）求异面直线和的距离；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。

【解析】（Ⅰ）如答（20）图1，因AC=BC， D为AB的中点，故CD AB。又直三棱柱中， 面 ，故 ，所以异面直线 和AB的距离为
（Ⅱ）：由故 面 ，从而 ，故 为所求的二面角的平面角。
因是在面上的射影，又已知 由三垂线定理的逆定理得从而，都与互余，因此，所以≌，因此得
从而
所以在中，由余弦定理得
2.【2012高考新课标文19】（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点

C
B
A
D
C1
A1
(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
【答案】

3.【2012高考陕西文18】（本小题满分12分）
直三棱柱ABC- A1B1C1中，AB=A A1 ，=
（Ⅰ）证明;
（Ⅱ）已知AB=2，BC=，求三棱锥 的体积
【答案】

4.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分)
如图，直三棱柱，，AA′=1，点M，N分别为和的中点。
(Ⅰ)证明：∥平面;
(Ⅱ)求三棱锥的体积。
（椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积，h为高）

5.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．
求证：（1）平面平面；
（2）直线平面．

【答案】证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。
又∵平面，∴。
又∵平面，∴平面。
又∵平面，∴平面平面。
（2）∵，为的中点，∴。
又∵平面，且平面，∴。
又∵平面，，∴平面。
由（1）知，平面，∴∥。
又∵平面平面，∴直线平面
6. （2013新课标Ⅱ）18．（本小题满分12分）
如图，直棱柱中，分别是的中点，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．

7. （2013新课标1卷18）如图，三棱柱中，A
B
C
C1
A1
B1
,,
（1）证明：；
（2）若平面平面,，求直线与平面所成角的正弦值
解：（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，，，
∵AB=，=，∴是正三角形，
∴⊥AB， ∵CACB， ∴CE⊥AB，
∵=E，∴AB⊥面，
∴AB⊥； ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB，
又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，
∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，
有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),则=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,), ……9分
设=是平面的法向量，
则，即，可取=（，1，-1），
∴=，
∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为. ……12分
8.（2013北京卷理17）如图，在三棱柱中，是边长为的正方形，平面平面，.
C
1
B
1
A
1
C
B
A
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值。

解：（I）因为AA1C1C为正方形，所以AA1 ⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.
(II)由（I）知AA1 ⊥AC，AA1 ⊥AB. 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－,则B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，
设平面A1BC1的法向量为，则,即，
令，则，，所以.
同理可得，平面BB1C1的法向量为,所以. 由题知二面角A1－BC1－B1为锐角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.
(III)设D是直线BC1上一点，且. 所以.解得，，.
所以.
由，即.解得.
因为，所以在线段BC1上存在点D，
使得AD⊥A1B.
此时，.
9.（2013四川卷理19）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点．
（Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值．

解：如图,在平面内,过点做直线//,因为在平面外,。
在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,//平面.
由已知,,是的中点,所以,,则直线.
因为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面. …………………………………………………………………………….6分
解法一:
连接,过作于,过作于,连接.
由知,平面,所以平面平面.
所以平面,则.
所以平面,则.
故为二面角的平面角(设为).
设,则由,,有,.
又为的中点,所以为的中点,且,
在中, ;在中, .
从而,,,
所以.
所以.
故二面角的余弦值为. ………………12分
解法二:
设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合).
则,.
因为为的中点,所以分别为的中点,
故,
所以,,.
设平面的一个法向量为,则
即故有

从而
取,则,所以.
设平面的一个法向量为,则
即故有
从而
取,则,所以.
设二面角的平面角为,又为锐角,
则.
故二面角的余弦值为. ………………12分
10. （2013湖南卷文17）如图，在直棱柱中，,,,是中点，点在棱上运动
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
E
（1）证明：；
（2）当异面直线所成的角为时，
求三棱锥的体积。

解： (Ⅰ) .

.
(证毕)
（Ⅱ）.
.
11. （2013新课标2卷文18）如图，直三棱柱中，分别的中点。
A
1
B
1
C
1
A
B
C
D
E
（1）证明：∥平面；
（2）设,,
求三棱锥的体积。

12.（2013天津卷文17）如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，分别为棱的中点。
（1）证明：∥平面；
（2）证明平面平面
（3）直线与平面所成角的正弦值

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