高考数学一轮复习分层限时跟踪练53.doc

分层限时跟踪练(五十三)
(限时40分钟)

一、选择题
1．从6个男生2个女生中任选3人，则下列事件中必然事件是(　　)
A．3个都是男生 B．至少有1个男生
C．3个都是女生 D．至少有1个女生
【解析】　因为只有2名女生，所以选出的3人中至少有1名男生．
【答案】　B
2．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：
162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，
151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.
根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5 cm～170.5 cm之间的概率约为(　　)
A.　　　B. C.　　　D.
【解析】　从已知数据得，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5 cm～170.5 cm之间的学生有8人，频率为，故可估计在该校高二所有学生中任取一人，身高在155.5 cm～170.5 cm之间的概率为.
【答案】　A
3．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(　　)
A.　　　B. C.　　　D.
【解析】　由袋中随机取出2个小球的基本事件总数为10，取出小球标注数字和为3的事件为1,2，取出小球标注数字和为6的事件为1,5或2,4，所以取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为P＝＝.
【答案】　A
4．(2015·湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)
A．134石　　B．169石 C．338石　　D．1 365石
【解析】　设1 534石米内夹谷x石，则由题意知＝，解得x≈169.故这批米内夹谷约为169石．
【答案】　B
5．(2015·抚宁模拟)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是(　　)
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件

【解析】　由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．
【答案】　D
二、填空题
6．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．
【解析】　1－0.42－0.28＝0.30,21÷0.42＝50,50×0.30＝15.
【答案】　15
7．(2015·潍坊模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________.
【解析】　m可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的基本事件个数依次为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，故两次向上数字之和等于7时对应的事件发生的概率最大．
【答案】　7
8．下列四个命题中，真命题的序号为________．
①将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”．则事件A与事件B是对立事件；
②在命题①中，事件A与事件B是互斥事件；
③在10件产品中有3件是次品，从中任取3件．事件A：“所取3件中最多有2件是次品”．事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．
④两事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件．
【解析】　抛掷两次硬币，共有四种情况，所以A、B不是对立事件，但是互斥的，①不对；②正确；③中事件A、B可以同时发生，不互斥；④正确．
【答案】　②④
三、解答题

9．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y、z的值．
【解】　(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得
0．1＋0.16＋x＝0.56，
∴x＝0.3.
(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得
0．96＋z＝1，∴z＝0.04.
由派出医生最少3人的概率为0.44，得
y＋0.2＋0.04＝0.44，
∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.
10．(2015·陕西高考)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴

日期
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
天气
阴
晴
晴
晴
晴
晴
阴
雨
阴
阴

日期
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨

(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
【解】　(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为＝.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.

1．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为(　　)
A.， B.，
C.， D.，
【解析】　“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1－－＝.
设“甲不输”为事件A，可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝＋＝.或设“甲不输”为事件A，可看做是“乙胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝.
【答案】　C
2．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　由题意可知⇒⇒⇒＜a≤.
【答案】　D
3．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．
【解析】　甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，基本事件总数为3×3＝9.
设“甲、乙心有灵犀”为事件A，则A的对立事件B为“|a－b|＞1”，即|a－b|＝2包含2个基本事件，
∴P(B)＝，∴P(A)＝1－＝.
【答案】　
4．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，且x＞0，y＞0，则x＋y的最小值为________．
【解析】　由题意得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)＝5＋≥9，当且仅当＝，即x＝2y时等号成立．
【答案】　9
5．袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.
(1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率；
(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率．
【解】　(1)从袋中任取一球，记事件A为“得到红球”，B为“得到黑球”，C为“得到黄球”，D为“得到绿球”，则事件A，B，C，D两两互斥．
由已知P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，
∴P(B∪C∪D)＝1－P(A)＝1－＝.
∵B与C∪D，B∪C与D也互斥，
∴P(B)＝P(B∪C∪D)－P(C∪D)＝－＝，
P(D)＝P(B∪C∪D)－P(B∪C)＝－＝，
P(C)＝1－P(A∪B∪D)＝1－(P(A)＋P(B)＋P(D))＝1－＝1－＝
故得到黑球、得到黄球、得到的绿球的概率分别是，，.
(2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球，
∴得到的球是红球或黄球，即事件A∪C，
∴P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝＋＝，
故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为.
6．(2015·榆林模拟)如图10­1­1所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

图10­1­1
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
【解】　(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
∴用频率估计相应的概率为0.44.
(2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由频数分布表知，40分钟赶往火车站，选择不同路径L1，L2的频率分别为(6＋12＋18)÷60＝0.6，(4＋16)÷40＝0.5，
∴估计P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.5，则P(A1)＞P(A2)，
因此，甲应该选择路径L1，
同理，50分钟赶到火车站，乙选择路径L1，L2的频率分布为48÷60＝0.8,36÷40＝0.9，
∴估计P(B1)＝0.8，P(B2)＝0.9，P(B1)＜P(B2)，
因此乙应该选择路径L2.