湖北公务员考试：数学运算治愈系之比例妙解锦囊.doc

数学运算治愈系之比例妙解锦囊
湖北华图 罗姮
行程问题是公务员行测考试中较难的一类数学运算典型题型，也是很多学员难以突破的题型之一。而每年的国考、联考或是其他单独命题省份的考试，都会通过行程问题考察考生对于复杂问题的解决能力，以达到区分考生水平和层次的目的。在公务员考试中，行程问题主要包括基本公式、相遇追及、流水行船和电梯运动等问题，而相遇追及问题是考察频率最高、变化最多、入手最难的题型。近年来，相遇追及问题从一次相遇到多次相遇、从直线运动到曲线运动，比例法在解决这类问题中的作用凸显出来。特别是当题目较抽象、已知条件非常少时，方程法固然可用，但是相当复杂的情况下，能够利用比例法在短时间内找到解题的突破口，快速解答。本文主要就相遇追及问题中比例法的解题思路作简要阐述。
比例法，也称比例份数法，即当题目已知条件较少、难以列出具体式子的抽象情形时，可根据已知量的比例关系设出份数来求解。如在行程问题中，根据行程问题的基本公式：，当不变时，成反比；当（或）不变时，与（或）成正比。
【例题1】甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务。甲车单独清扫需要6小时，乙车单独清扫需要9小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫15千米。问东、西两城相距多少千米？（ ）
A.60千米 B.75千米
C.90千米 D.135千米
【答案】B
【解析】这是一道典型的相遇追及问题。找出等量关系，列出方程求解是可行的，但会非常复杂。比例法， =6：9=2：3，则一定时，=3：2。相遇时，一定，=3：2。令甲走了3份距离，乙走了2份距离，多一份距离为15千米。故全程共5份距离，为75千米。
【例题2】甲、乙两人开车同时从A、B两地出发，甲每小时行90千米，乙每小时行60千米，两人在途中C点相遇。如果甲晚出发1小时，两人将在途中D点相遇。且AB两地中点E到C、D两点的距离相等。那么A、B两点间的距离为？（ ）
A.72 B.108
C.150 D.180
【答案】D
【解析】这同样是一道比较复杂的相遇追及问题。如下图所示，考虑比例法。当时间一定时，==90：60=3：2，即设全程共5份距离，C点相遇时，甲走3份距离（AC段），乙走2份距离（BC段）。又由于E为中点，所以AE=BE=2.5份距离。故CE=ED=0.5份距离。那么在D点相遇时甲走了AD=AE-DE=2.5份距离-0.5份距离=2份距离，根据=3：2可得，在乙走了1小时以后，乙又走了4/3份距离。故乙先走1小时所走的60千米对应BD-4/3份距离=3份距离-4/3份距离=5/3份距离解得1份距离=60÷5/3=36千米。全程共5份距离，即AB相距180千米。

【锦囊1】在双人单次相遇追及问题中，当已知条件较少、难以入手，列方程未知数太多时，可以考虑比例法。特别是题目已知速度或时间的具体量，而其余条件缺乏求解路程时，尤其选择比例法快速破题。
【例题3】甲、乙两人同时从A、B两地出发相向而行，甲到达B地后立即往回走，回到A地后又立即向B地走去；乙到达A地后立即往回走，回到B地后立即返回A地，如此往复，行走的速度不变。若两人第一次迎面相遇的地点距A地500米，第二次迎面相遇地点距B地700米，则A、B两地的距离是（ ）。
A .1300米 B.1120米
C.1000米 D.800米
【答案】D
【解析】这是一道非常抽象的多次相遇追及问题。考虑比例法，速度不变，相遇时时间一定，则=，且第一次相遇时的路程之比与第二次相遇时的路程之比相等。如下图所示，第一次在C点相遇，第二次在D点相遇。设全程AB为X，那么第一次相遇时，甲走了AC=500米，乙走了BC=X-500米；第二次相遇时，甲共走了AB+BD=X+700米，乙共走了2AB-BD=2X-700，列出方程为500：（X-500）=(X+700)：(2X-700)解得X=800米。

【例题4】如下图所示，AB两点是圆形体育场直径的两端，两人从AB点同时出发，沿环形跑道相向匀速而行，他们在距A点弧形距离80米处的C点第一次相遇，接着又在距B点弧形距离60米处的D点第二次相遇，问这个圆形体育场的周长是多少米？（ ）
A
B
D
C
A .240 B.300
C.360 D.420

【答案】C
【解析】这同样是一道非常抽象的多次相遇追及问题。考虑比例法，两次相遇时间相同，所以=，而整个运动过程中，甲、乙速度不变，故第一次相遇时的路程之比与第二次相遇时的路程之比相等。设半圈长为X，第一次相遇时甲走了弧AC=80米，乙走了弧BC=X-80米；第二次相遇时甲共走了弧ABD=X+60米，乙共走了弧BAD=2X-60米，列出方程得80：（X-80）=（X+60）：（2X-60），解得X=180米。故整圈体育场的长度为360米。
【锦囊2】在相遇追及问题中，双人往返的多次相遇问题是非常复杂的。当题目仅仅只有相遇地点与端点距离的已知条件时，可以考虑比例法，N次相遇时两人走过的路程比例都相等，可快速破题求解。
根据近年来行程问题的考察趋势，相遇追及问题仍然是公务员行测考试中的重点测查题型。当相遇追及题型变得更加抽象，或是采取方程法求解非常复杂时，考虑用比例法解答行程问题，往往可以达到事半功倍的效果。
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