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无源低通滤波器设计

一、 技术指标
通带允许起伏：-1dB 0≤f≤5kHz
阻带衰减： ≤-15dB f≥10kHz

二、 设计原理
本设计采用巴特沃斯(Butterworth)滤波器。巴特沃斯滤波器是最基本的逼近函数形式之一，它的幅频特性H(jω)的模平方为

式中，N是滤波器的阶数；是滤波器的截止角频率，当时，。
不同阶次的巴特沃斯滤波器特性如图所示，这一幅频特性具有以下特点：

图1 巴特沃斯滤波器幅频相应

(1) 最大平坦性：在ω=0点，它的前(2N-1)阶导数为零，即滤波器在ω=0附近一段范围内是非常平直的，它以原点的最大平坦性来逼近理想低通滤波器。
(2) 通带和阻带的下降的单调性，具有良好的相频特性。
(3) 3dB的不变性：随着N的增加，通带边缘下降越陡峭，越接近理想特性。但无论N是多少，幅频特性都经过-3dB点。当时，特性以20NdB/dec速度下降。

三、 设计步骤
(1) 求滤波器阶数N
由给定的技术指标写出滤波器幅频特性在和两特定点的方程：

联立方程，消去，求解N
N=log10(101510-110110-1)2log10(105)=3.4435
取整后得到要求的阶数N=4。

(2) 求衰减为-3dB的截止角频率，将N=4代入的表达式得到
∣H(jωs)∣=11+(2π×10×103ωc)2×4=10-1520
即

(3) 求滤波器的系统函数。归一化的系统函数的分母称作巴特沃斯多项式，已知N=4时，BNs=s4+2.61313s3+3.41422s2+2.61313s+1，经过去归一化，即以ε1N∙sωp=0.71/410000πs=2.912×10-5s来代替，代入中，得到实际的系统函数为
Hs=1.391×1018s4+8.973×104s3+4.026×109s2+1.058×1013s+1.391×1018
(4)设计实现电路。一般情况电路都是工作在匹配状态，故信号源内阻和负载电阻相等，此时满足

用达林顿电路实现时，策动点阻抗函数可表示为

为简化计算，把策动点阻抗函数对信号源内阻归一化，即

将上式按的降幂展开得：
Z11(s)Rs=2s4+2.61313s3+3.41422s2+2.61313s+12.61313s3+3.41422s2+2.61313s+1
展开成连分式表示
Z11(s)Rs=0.765s+11.848s+11.848s+10.765s+1=L1's+1C2's+1L3's+1C4's+1
其中，L1',C2',L3',C4'是归一化电感、电容值，其实现电路如下图所示，图中的元件都是对频率和信号源内阻归一化的。

图2 N=4阶的巴特沃斯低通原型滤波器实现

在实际实现电路时，需要把原型滤波器的元件值对频率和内阻去归一化。电阻值恢复原来值即可，实际电容、电感值可由下式求出

现在根据原型电路图对各元件去归一化：
L1=RSωCL1'=100043062×0.765=17.77mH
C2=1RSωCC2'=11000×43062×1.848=42.91nF
L3=RSωCL3'=100043062×1.848=42.91mH
C4=1RSωCC4'=11000×43062×0.765=17.77nF
具体实现电路如下图

图3 N=4阶的巴特沃斯低通滤波器实际电路

四、 电路仿真及结果
(1) 在Matlab7.1/Simulink中仿真，输入系统的函数，进行线性分析，画出滤波器的幅频相应和相频相应（见图4）。

图4 滤波器的幅频、相频相应
从波特图中可以看出，在误差允许范围内，当频率小于8kHz时，衰减小于
1dB；当频率大于15kHz时，衰减大于20dB；截止频率大约为9.5kHz。滤波器实现了要求的技术指标。
(2) 在Simulink中搭建如下所示的电路图，其中低频信号=8000Hz，高频信号=20kHz。元件、用10mH和0.39mH的电感串联近似得到，用33mH和0.6mH电感串联得到，用27nF电容近似。

图5 Simulink中的电路实现
首先只输入低频信号，幅值为U1=100V。通过示波器观察，输出信号幅值为输入信号的一半左右，相位大约滞后输入信号180度：与波特图上的曲线该点数据相吻合。

图6 低频信号的输入、输出信号波形

其次只输入高频信号，幅值为U2=100V。通过示波器观察其响应，输出信号幅值衰减到大约只有输入信号的1%，相位大约滞后输入信号360度。

图7 高频信号的输入、输出波形
最后，将低频信号和高频信号同时输入给滤波电路，U1=100V，U2=10V。通过示波器观察输入、输出波形。输入信号相当于在基频的正弦波中混杂了频率为的高次谐波，经过滤波器电路之后，发现高次谐波基本被滤掉，输出波形是比较完美的基频正弦波。

图8 高低频信号叠加后的滤波效果

五、 结论
通过一般的工程设计方法，设计了4阶巴特沃斯无源滤波器，求出系统函数，计算出实际电路的元件参数。将电路在Matlab/Simulink中进行仿真，得出一组输入输出波形。仿真结果验证了这种工程设计方法的正确性，所得到的滤波器具有良好的滤波性能，在0～5kHz内衰减不超过1dB，能够有效地衰减频率高于10kHz的谐波。但是仿真结果并不代表实际的滤波特性，当电路图制成PCB版后，由于受到实际元器件性能以及导线电阻、寄生电容、分布电感等的影响，滤波效果与本设计中的仿真存在差别。因而在制作滤波器时必须予以考虑。

有源低通滤波器
截止频率20k赫兹
本设计采用巴特沃斯(Butterworth)滤波器。巴特沃斯滤波器是最基本的逼近函数形式之一，它的幅频特性H(jω)的模平方为

式中，N是滤波器的阶数；是滤波器的截止角频率，当时，。
不同阶次的巴特沃斯滤波器特性如图所示，这一幅频特性具有以下特点：

图1 巴特沃斯滤波器幅频相应
可见阶数n越高，其幅频特性越好，低频检测信号保真度越高。
4阶有源低通滤波器可以由2个2阶低通滤波器级联组成，其基本电路图如图3所示。设计4阶巴特沃思低通滤波器的传递函数，用2个2阶巴特沃思低通滤波器构成1个4阶巴特沃恩低通滤波器，其传递函数为：
为了简化计算，其参数满足如下条件：

选取C=0.01uF，可算得R=796 Ω。4阶巴特沃思低通滤波器2个阻尼系数为：-0.765,1.848，由此算得两个零频增益为：
则传递函数为：

可以选择两个2阶巴特沃斯低通滤波器级联组成。增益分别为：

对于第一级，若选取R3=61KΩ，则R4=9.27KΩ；对于第二级，若选取R7=20KΩ，则R4=24.7KΩ。

低通滤波器的设计是已ω0（-3dB截止频率）、H0LP（直流增益）Q（在-3dB截止频率时的电压放大倍数与通带放大倍数数值之比）三个参数来设计电路.
HOLP=K=1+RBRA
ω0=1R1C1R2C2
Q=11-KR1C1R2C2+R1C2R2C1+R2C2R1C1
由上式可知，可通过先调整R1来调整ω0，然后通过调整K来调整Q值。对于巴特沃斯的二阶LPF的Q值为0.707。
1、 等值元件KRC电路设计
令 R1=R2=R,C1=C2=C,简化上述格式，则
HOLP=K=1+RBRA
ω0=1RC
Q=13-K
得出的设计方程为
RC=1ω0
K=3-1Q
RB=(K-1)RA

设电容C的取值为1nF,
R=12πf0C=12π×10×1000×10-9=15.915kΩ
取标称值，R=16 Kω
(2)根据K确定电阻RA和RB的值
K=3-1Q=3-10.707=1.5858
取RA=1000Ω,则RB=585.8Ω，取标称值590Ω

目 录
第一章 总论 1
1.1项目名称与承办单位 1
1.2研究工作的依据、内容及范围 1
1.3编制原则 3
1.4项目概况 3
1.5技术经济指标 5
1.6结论 6
第二章 项目背景及建设必要性 8
2.1项目背景 8
2.2建设的必要性 9
第三章 建设条件 11
3.1项目区概况 11
3.2建设地点选择 错误！未定义书签。
3.3项目建设条件优劣势分析 错误！未定义书签。
第四章 市场分析与销售方案 13
4.1市场分析 13
4.2营销策略、方案、模式 14
第五章 建设方案 15
5.1建设规模和产品方案 15
5.2建设规划和布局 15
5.3运输 18
5.4建设标准 18
5.5公用工程 20
5.6工艺技术方案 21
5.7设备方案 21
5.8节能减排措施 24
第六章 环境影响评价 25
6.1环境影响 25
6.2环境保护与治理措施 26
6.3评价与审批 28
第七章 项目组织与管理 29
7.1组织机构与职能划分 29
7.2劳动定员 29
7.3经营管理措施 30
7.4技术培训 30
第八章 劳动、安全、卫生与消防 31
8.1编制依据及采用的标准 31
8.2安全卫生防护原则 31
8.3自然灾害危害因素分析及防范措施 32
8.4生产过程中产生的危害因素分析及防范措施 32
8.5消防编制依据及采用的标准 34
8.6消防设计原则 35
8.7火灾隐患分析 35
8.8总平面消防设计 35
8.9消防给水设计 36
8.10建筑防火 36
8.11火灾检测报警系统 37
8.12预期效果 37
第九章 项目实施进度 38
9.1实施进度计划 38
9.2项目实施建议 38
第十章 项目招投标方案 40
10.1招标原则 40
10.2项目招标范围 40
10.3投标、开标、评标和中标程序 40
10.4评标委员会的人员组成和资格要求 42
第十一章 投资估算和资金筹措 43
11.1投资估算 43
11.2资金筹措及使用计划 45
第十二章 财务评价 47
12.1费用与效益估算 47
12.2财务分析 48
12.3不确定性分析 49
12.5财务评价结论 50
第十三章 建设合理性分析 51
13.1产业政策符合性分析 51
13.2清洁生产符合性分析 51
13.3规划符合性分析 51
13.4项目建设环保政策符合性分析 51
13.5环境承载性分析 51
13.6结论 52
第十四章 结论与建议 53